高数竞赛课件(极限)

函数极限与连续一、初等函数以外的函数称为非初等函数。其中有分段函数、用积分表示的函数、用级数表示的函数。１、符号函数1,10,00,1sgnxxxx２、Dirichlet函数为无理数为有理数xxxD,0,1)(３、用积分、级数表示的函数dxexgdxxxxfxxx012)(,sin)()!12)(12()1()(120nnxxhnnn二、常用不等式１、设12,,,nxxx是ｎ个正数，则有nxxxxxxnnn2121niiniiiniibaba121221２、三、常用等价无穷小0x时xxxxxx~arcsin,~tan,~sinxxxxxx~)1ln(,2~cos1,~arctan2axxaxaxeaxx~1)1(,ln~1,~1四、求极限的一般方法1．利用极限的四则运算法则．2．利用无穷小的运算法则．3．利用无穷小与无穷大的关系．无穷小．AxfAxf)()(lim4．利用5．利用两个重要极限．6．利用夹逼准则．7．利用单调有界准则及解方程．8．利用等价无穷小代换．9．利用函数的连续性．10．利用递推公式．11．利用合并或分项，因式分解，约分，变量代换，取对数等技巧．12．利用AnxxxAxnnnn21limlim13．利用AxfAxfxxxx)(lim)(lim0014．利用函数极限与数列极限的关系，即,)(lim0Axfxx)(lim00xxxxnnn;)(limAxfnn,)(limAxfxnnxlimAxfnn)(lim15、利用洛必达法则.16、利用导数定义.17、利用微分中值定理与泰勒公式.18、利用定积分定义、性质.19、利用收敛级数的性质.五、例题例1如果)(xf是),(上的周期函数,且0)1(lim0xfx,求)(xf例2求)sinlnarctan(limxxxx例3求nnnab11lim,其中.0,0ba例4求42222272arctan152arctanlimxxxxxx例5设na为一个正项的数列,如果nnnaa1lim存在,试证nnnalim也存在,并且nnnaa1limnnnalim=例6设nxexfnxn)ln(lim)(求)(xf的定义域.例7已知0)1(1sin)(1lim0Aexxxfxx求c及k,使.~)(kcxxf例8已知函数)(x),(在上连续,且0)(limnxxx,试证:(1)若n为奇数,则存在实数,使0)(n(2)若n为偶数,则存在实数,使对一切),(x,有)()(xxnn例9(1)求xnxxxxneee120lim其中n是给定的自然数.(2)求xexxx10)1(lim例10设),3,2()(2nxxxxfnn(1)证明方程1)(xfn在),0[内有唯一的实根nx(2)求nnxlim)2(lim21xfxxxysin设曲线在原点处与相切，计算:)(xfy例11例12设曲线nxxf)(在点)1,1(处的切线与x轴的交点为)0,(n,则.)(limnnf)(xf0)(,0)(afafnx)()(-111-nnnnxfxfxx,3,2,1naxnnlim)(2)(2211limafafxxxxnnnnn设函数具有二阶连续导数，，若满足，且,求证：，例13例14设,2,1,)12(31,0211nxxxxnnn证明nnxlim存在并求此极限.例15设)1999,,2,1(kak是给定的正数,求.19992lim1199921nnnnnaaa例16已知,01lim33xxx则.,例17计算极限nnnn1!1lim例18计算nnnnnnn1sin212sin1sinlim例19计算2222221lim12(1)nnnnnn例20设)(xf是连续函数,)(xF是)(xf的原函数,则(A)当)(xf是奇函数时,)(xF必是偶函数.(B)当)(xf是偶函数时,)(xF必是奇函数.(C)当)(xf是周期函数时,)(xF必是周期函数.(D)当)(xf是单调增函数时,)(xF必是单调增函数.例21求30)1(sinlimxxxxexx例22求2220sin)(cos112lim2xexxxxx例23(1)求xxxxx20sinsin1tan1lim(2)求xxeexxxsinlimsin0例24函数)(xf在点0x可导,nn,为趋于零的正数数列,求nnnnnxfxf)()(lim00例25求出ba,,使03sinlim230bxaxxx例26设)(xf有连续一阶导数,试求dtatfatfaaaa)()(41lim20例27设)0(f存在,0)0(f,求205tan)cos1(limxxfx例28填空.1coslim2nnn(1)(2)若2)1()21ln()cos1(tanlim20xxecxxbxa则.a例29设,2,121aa当3n时,21nnnaaa,证明:11223)1(nnnaaa01lim)2(nna例30设)(xf具有连续的二阶导数,且310)(1limexxfxxx,试求)0(,)0(,)0(fff及xxxxf10)(1lim例31设数列nx满足:11sin)2(11sinnnxnnn则nkkknxn111lim例32设)(xf是),0(上递减的连续函数,且0)(xfna,证明数列收敛,其中nnkndxxfkfa11)()(10x13014xx41312xx4131nnxx}{nx0144xx已知,,,…，，…求证：（1）数列收敛；的根.（2）的极限值a是方程}{nx例33例34nnnnba2lim其中0,0ba为常数,且1,1ba例35若函数)(xf在1x处可导,且1)1(f,则xxfxfxfx)tan31(2)sin21()1(lim0例36填空xxeexxxsin12lim410nnnnn!2lim例37填空例38设,221222nnnnnnnnnnnxn,2,1n求nnxlim例39设nnknku1)21(21则nnulim例40当0x时,1)1ln(xex与nax是等价无穷小,则.,an例41求nknkkkk123)!3(5116lim例42已知)(xf是三次多项式,且有)0(14)(lim2)(lim42aaxxfaxxfaxax求axxfax3)(lim3例43设为有界闭区间上的连续函数，且有数列，使证明：至少存在一点，使)(,)(xgxfba,baxn,,2,1,)()(1nxfxgnnbax,0)()(00xgxf