案例分析-模型-架起数学与生活的桥梁

模型——架起数学与生活的桥梁————《分数的初步认识》的案例分析『摘要』数学模型是建立在数学一般的基础知识与应用数学知识之间的一座重要的桥梁，建立数学模型，就是指从数学的角度发现问题、展开思考，通过新旧知识间的转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，再综合运用已有的数学知识与技能解决这一类问题。这是在平时的数学教学中教师应该着重培养学生所具备的一种数学思想和方法。『关键词』数学建模应用随着教改发展，数学建模业已成为小学数学学习目标，在《数学课程标准》（实验稿）中已将“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识”列为课程总体目标之一。具体来说：一要运用数学思维观察发现问题；二要分析出问题的本质（即抽象出数学模型即建模）；三要解决问题（即对数学模型求解，然后应用，此后遇到同种模型的问题时就可以用同种方法解决了）。一、在小学数学课堂中建模的意义曾在一电视节目里听有人批评数学教育：有一个水池，打开出水管需5时把水放完，打开进水管需4时可把水蓄满，同时打开进水管和出水管需几时可把水蓄满？生活中会有这么无聊的人吗？于是理所当然地批评数学教育脱离了生活实际，尽教一些无用的知识。如果用建模的眼光来看，水池进水、放水其实只是一个生产与消耗问题的模型，比如家庭收支、人体吸收与代谢、产品的成本与售价等同类模型的问题在生活中比比皆是。如果以建模的眼光来评价这道题，那么它是有价值的，之所以有人这么评价它，那是因为他们没有从建模的角度来看，眼光局限于问题的情境素材这一表面现象，模型才是本质的，是数学一般的基础知识与数学应用之间的一座重要的桥梁。数学教学就是在一定基础上进行对数学知识模型的建立及其方法的应用。数学模型化是一种极为重要的数学思想方法。对于学生学习和处理数学问题有着极其重要的影响，它可以帮助学生体会数学的作用，产生对数学学习的兴趣。因此，建构和掌握数学模型化方法，是培养学生创新精神、实践能力的一种最有效的途径。数学家米山国藏说：“作为知识的数学出校门不到两年就忘，唯有深深铭记在头脑中的数学精神、数学思想、研究方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终生受益。”数学模型是建立在数学一般的基础知识与应用数学知识之间的一座重要的桥梁，建立数学模型，就是指从数学的角度发现问题、展开思考，分析出问题的本质并抽象出数学模型。学生在探索、获得数学模型的过程中，也同时获得了建构数学模型、解决实际问题的思想与方法，而这对学生的发展来说，其意义远大于仅仅获得某些数学知识。二、在小学数学课堂中的建模方法小学数学中的法则、定律、公式、概念等都是一个个数学模型，从这个意义上看，我们每堂数学课都可能在有意无意地建立数学模型。如何使学生通过建模形成数学模型？其中一条很重要的途径就是把生活原型上升为数学模型。因为生活原型中揭示的“事理”是学生的“常识”，但是“常识”还不是数学，“常识要成为数学，它必须经过提炼和组织，而凝成一定的模型……”，所以要使“事理”上升为“数理”还需要有一个模型化的过程，而不同的模型建模的方法是不一样的。一般情况下数学模型分为：概念型数学模型、方法型数学模型、结构型数学模型。（一）、概念型数学模型——提炼生活原型建模“分数的初步认识”教学片断1.建立“一半”模型师：可是蛋糕只有一个，怎样才能平均分给2个人呢？生：从中间切开，一人一半。（课件演示：蛋糕从中间分开）师：把一个蛋糕平均分成2份，每人分得一半。（课件出示）师：你能用什么方式表示“一半”呢？（小组讨论）设计意图：使学生意识到分数的产生是生活的需要，数学建模是为了解决生活中的问题，体会建立分数这一模型的必要性，并建立起“一半”平均分的模型。展示学生不同的表示方法。（给予鼓励）2.建立“12”的模型师：刚才同学们用不同的方式表示了“一半”，现在世界通用的表示“一半”的数学符号是12。（板书：12）师：12是一个分数，这节课我们一起认识分数。（板书：认识分数）师：在这里2表示什么？1又表示什么？生：2表示蛋糕平均出来后有2份，1表示其中的一份蛋糕。师：蛋糕的一半用分数怎样表示？生：12师：那么另一半用分数怎样表示？生：也是12师：那这个12又是表示什么呢？生：把蛋糕平均分成2份，取其中的一份，这一份就是12。师：同桌互相说一说12的意义。4.模型深化师：请在老师给你准备的纸中拿出一张纸（有长方形、正方形、圆形、三角形），你能用这张纸表示出12吗？请涂上颜色。汇报展示不同的表示法：等师：折法不同，涂颜色部分为什么都可以用12表示呢？生：一半的话只要平均分就够了，上面的那些都是平均分的。5.模型推广师：刚才我们认识了12，那还有其他分数吗？学生回答老师板书师：你能用一个图形表示出你喜欢的分数吗?这个片段的教学中分数本身是一种平均分配物品的数学模型，是概念型的数学模型，为了让学生理解分数的本质意义，我借助分蛋糕这一生活问题先帮助学生巩固“平均分”的概念，初步建立“一半”的模型，学生用自己的方式画图或符号来表示“一半”，这其实是放手让学生自己对“一半”建立出数学模型，在学生的数学建模后出现了多种“一半”的数学模型，然后再优化出最佳数学模型分数12。让学生经历数学建模的建立过程，加深了对分数意义的理解。再对分数12这一模型进行深化，用不同的物品（各种不同形状的纸片）来表示12，对12的意义进行深化理解。最后把分数12推广到其他分数。概念型数学模型有很多都是基于现实生活中的问题原型做出适度抽象后的产物。把生活问题抽象成数学问题，然后进行建模，对初步建立的模型进行分析优化再进行推广，再教学中让学生经历数学模型重建的过程能加深学生对数学知识本质的理解。（二）、方法型数学模型——数形结合与建模“两、三位数除以一位数”教学片断师：该怎样列式呢？生：48÷2师：下面同学们可以用自己的方法来研究它。我们可以摆一摆，也可以直接算一算。（学生有的摆小棒，有的在练习本上计算，有……）师：请你说说你是怎么做的。生1：每只小猴先分到2捆，又分到4根，也就是24根。生2：我是口算，先算40÷2=20，再算8÷2=4，最后20+4=24。生3：我列竖式……师：你能把自己的想法给大家说说吗？生：因为40÷2=20，把2写在十位上，8÷2=4，把4写在个位是，2×24=48，所以48÷2=24。教师板书竖式。师：这两只小猴对同学们想出的办法非常满意，正要按这个办法来分，这时又跑来一只猴子，（师在情境图是再贴一只猴子）它想干什么呢？引导学生列式。生：48÷3师：请同学们动手分，边分边思考，把48平均分成3份，应该先怎样分，再怎样分？根据分的过程，试着列出除法竖式。（学生开始动手分，边分边想，并不时在纸上画一画。）师：大家在小组内互相说一说，根据分的过程，你在怎样列出竖式的，并选出小组发言人，代表你们组发言。生：我们组是这么想的，4篮桃子先分，每只猴一篮，剩下一篮，所以40除以3等于1余10，1写在十位上，余10就在3下写1，再把另外的8个跟1篮一块分，18除以3等于6个，也就是说每只猴分到16个桃子。师：他说得真准确。师：观察黑板上的竖式，都是先从哪一位除起？（十位）师：每次除得的商写在什么位置？生：用被除数十位上的数去除时，商要写在被除数的十位上，如果用被除数个位上的数去除，商要写在被除数的个位上。师：笔算时，从被除数的最高位除起，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位上。第一次商后，十位上还有余数，就要把这个余数和个位上的数合起来，再计算。这一教学中我根据学生提出的列竖式的方法，顺势引导学生说出列竖式的过程。并且我让学生在计算时用小棒来代替桃子分一分，或者在本子上用符号图形代替桃子画一画，其实不管是分桃子还是分苹果，我们初步把分这些物品抽象成了分小棒或图形符号，培养学生的模型意识。借助数形结合让学生悟出理解算法后，教学并不能满足于“知其然”，继续带领学生由算法而探究算理，追究其中的“所以然”。在这个过程中，把小棒及图形的模型继续抽象，几捆小棒或什么图形就是“几个十”，几根小棒就是“几个一”，先把“几个十”分了，多的“几个十”与“几个一”再一块儿分，从而一步步地跃升思考的跨度及深度。在归纳、建立出简单除法的运算法则这一方法型数学模型的同时更是揭示出它的本质，学生就更容易掌握这一法则了，这大概就是所谓的算法与算理的统一吧。（三）、结构型数学模型——探寻问题本质建模“搭配”教学片断师：六一节到了，小英的妈妈为她准备了2件上衣，3条裙子。师：从上衣和裙子中各选一种穿，一共有几种不同的穿法？生：5种、6种……（纯出于猜想地各执一词）师：到底有几种？你们能有序地来搭一搭吗？（学生搭配）展示搭配：学生有的用文字写出搭配方案、有的用符号代替衣物连线给出方案，有的用符号列出方案。学生展示自己的方法，边说边摆出两种不同的方法，一共搭出6种。（板书：衣物的符号化上衣画成三角形，裙子画成圆形，2、3、6）。师：现在裤子增加到4条。一共有几种不同的搭配方法呢？师：你会用自己喜欢的方法在作业纸上连一连吗？（学生用不同的方法搭配）展示搭配结果，学生表述搭配的方法和结果。（板书：衣物的符号化及2、4、8）师：现在上衣增加到3件，裙子4条时，请猜想一下又有几种不同的搭配穿法呢？生：12种师：你是怎么想到的？生1：从2、3、6，2、4、8中可以推测到求两种事物的搭配一共有几种不同的方法好像能用乘法算……生2：老师，一件上衣有3种配法，两件就是2×3＝6（种）；后面是每件上衣有4种配法，两件就是2×4＝8（种）。（我心里高兴极了，这不正是搭配中的排列组合吗？这比找到规律要更深一层，一部分学生也恍然大悟地点头赞成。）师：请随意选择两类事物，搭一搭、数一数有几种？再把这两类数据乘起来，比一比你发现了什么？（让学生验证，再次理解这种方法的意义）师：你一类选几，另一类选几，数出来是几？乘起来呢？发现了什么？为什么呢？学生汇报交流师：刚才同学们自己探究出一个规律：求两类事物的搭配一共有几种不同的搭配方法可以用乘法来计算，现在我们就来用一用这条规律，解决一些生活中的实际问题。师：水果拼盘：黄颜色的水果有六种，红色的水果有七种，一共有几种不同的搭配方法？生1：老师，我发现这题目跟配衣服是一样的，黄颜色水果相当于上衣，红色的水果就是裙子，所以6×7＝42（种）。（我正想怎样引导他们对这些题目进行抽象而建立模型，龚康健就说出来了，在他的提醒下，很多学生纷纷反应过来。）生2：老师，那么黄水果就是三角形、红水果就是圆形，那就一样用乘法。师：对，你们说得很好。搭配衣物的方法不仅可以解决搭衣物的问题，换成水果等其他东西后问题的本质还是没变，搭配衣物其实只是这一类问题的一个数学模型。师：接下来看谁能从题目中抽象出模型来解决问题。师：运动员搭配：有男运动员五名、女运动员八名，男女搭配参赛，一共有几种不同的搭配方法？生：40种。师：线路搭配：从家到学校有2条路可走，从学校到少年宫有3条路，一共有几种不同的走法？（你会选择哪一条？为什么？）……生：6种。（学生很快抽象出数学模型并把解决方法推广应用了。）师：老师有一些衬衫和领带，一共可以有12种不同的穿法，猜一猜王老师可能会有几件衬衫和几条领带？通过搭配不同数量的衣物的方案，建立起图形搭配的模型，并从中寻找数学模型的解，再通过搭配水果、搭配运动员、搭配路线等使学生感知理解搭配衣物问题只是一个“模型”，虽然问题情境在不断变化，但问题的本质——搭配的物品的数量关系是不变的。学生在解决这些问题的过程中逐渐建构搭配衣物的数学模型。用图形来代替物品则是把搭配衣物的问题作进一步地概括、抽象、提炼。引导学生建立数学模型的过程是循序渐进的，逐步对问题的本质进行类推与抽象。引导学生进行联系、对比、分析，学生的思维在不断的内省、自悟中得到提升，因此自然而然的建构出搭配的数学模型。《数学课程标准》强调：从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。在小学阶段渗透数学建模