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28章锐角三角函数在Rt△ABC中,∠C=90°,由于∠A=45°,所以Rt△ABC是等腰直角三角形,由勾股定理得因此即在直角三角形中,当一个锐角等于45°时,不管这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于如图,任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=45°,计算∠A的对边与斜边的比,你能得出什么结论?ABBCABC=+==________=综上可知,在一个Rt△ABC中,∠C=90°,当∠A=30°时,∠A的对边与斜边的比都等于,是一个固定值;当∠A=45°时,∠A的对边与斜边的比都等于,也是一个固定值.一般地,当∠A取其他一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?在图中,由于∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比也是一个固定值.并且直角三角形中一个锐角的度数越大,它的对边与斜边的比值越大任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C',使得∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,那么与有什么关系.你能解释一下吗?ABBC''''BACB探究ABCA'B'C'如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记住sinA即caAA斜边的对边sin当∠A=30°时,我们有2130sinsinA当∠A=45°时,我们有2245sinsinAABCcab对边斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c1、正弦函数同理,sin60°=32注意sinA是一个完整的符号,它表示∠A的正弦,记号里习惯省去角的符号“∠”;sinA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与斜边的比;sinA不表示“sin”乘以“A”。正弦的常见表示:sinA、sin42°、sinβ(省去角的符号)sin∠DEF、sin∠1(不能省去角的符号)例1如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA和sinB的值.解:(1)在Rt△ABC中,5342222BCACAB因此53sinABBCA54sinABACB(2)在Rt△ABC中,135sinABBCA125132222BCABAC因此1312sinABACBABCABC3413例题示范5练一练1.判断对错:A10m6mBC1)如图(1)sinA=()(2)sinB=()(3)sinA=0.6m()(4)SinB=0.8()ABBCBCAB√√××sinA是一个比值(注意比的顺序),无单位;2)如图,sinA=()BCAB×2.在Rt△ABC中,锐角A的对边和斜边同时扩大100倍,sinA的值()A.扩大100倍B.缩小C.不变D.不能确定C1100练一练3.如图ACB37300则sinA=______.12根据下图,求sinA和sinB的值.ABC35练习解:(1)在Rt△ABC中,22225334ABACBC因此3334sin3434BCAAB34345345ABACsinB根据下图,求sinA和sinB的值.ABC125练习解:(1)在Rt△ABC中,2222125119BCABAC因此119sin12BCAAB5sin12ACBAB根据下图,求sinB的值.ABCn练习解:(1)在Rt△ABC中,2222ABBCACmn因此222222sinACnnmnBABmnmnm练习如图,Rt△ABC中,∠C=90度,CD⊥AB,图中sinB可由哪两条线段比求得。DCBA解:在Rt△ABC中,sinACBAB在Rt△BCD中,sinCDBBC因为∠B=∠ACD,所以sinsinADBACDAC求一个角的正弦值,除了用定义直接求外,还可以转化为求和它相等角的正弦值。如图,∠C=90°CD⊥AB.sinB可以由哪两条线段之比?想一想若AC=5,CD=3,求sinB的值.┌ACBD解:∵∠B=∠ACD∴sinB=sin∠ACD在Rt△ACD中,AD=sin∠ACD=∴sinB=222235=--CDAC54=ACAD54=4回味无穷12小结拓展1.锐角三角函数定义:2.sinA是∠A的函数ABC∠A的对边┌斜边斜边∠A的对边sinA=4.只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步.Sin300=sin45°=22sin60°=323.sinA是线段之间的一个比值,sinA没有单位小结如图,Rt△ABC中,直角边AC、BC小于斜边AB,所以0<sinA<1,0<sinB<1,sinBCAABsinACBAB如果∠A<∠B,则BC<AC,那么0<sinA<sinB<1ABC<1<11.sinA的取值范围是什么?2.结合右图,思考∠A的其他两边的比值是不是也是唯一确定的?发挥你的聪明才智,动手试一试.探究如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,当锐角A确定时,∠A的对边与斜边的比就随之确定,此时,其他边之间的比是否也确定了呢?为什么?ABC邻边b对边a斜边c当锐角A的大小确定时,∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的,我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine),记作cosA,即cbABACAA===斜边的邻边∠cos把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent),记作tanA,即baACBCAAA===的邻边的对边∠∠tan锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.精讲对于锐角A的每一个确定的值,sinA有唯一确定的值与它对应,所以sinA是A的函数。同样地,cosA,tanA也是A的函数。cbAA斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tancaAA斜边的对边sin锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.1.下图中∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边.练习ABCD(1)sinA==AC()BC()(3)sinB==AB()CD()CDABBCAC(2)cosA==AC()AC()(4)cosB==AB()BD()ADABBCCD例2如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,sinA=,求cosA、tanB的值.53解:∵ABBCAsin10356sinABCAB又86102222BCABAC,54cosABACA34tanBCACBABC6例题示范变题:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=,求sinA、tanA的值.1517解:∵15cos17ACAAB88sin,1717BCkAABk88tan1515BCkAACkABC例题示范设AC=15k,则AB=17k所以2222(17)(15)8BCABACkkk例3:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°例题示范1.求证:sinA=cosB,sinB=cosA2.求证:sin1tan;tancostanAAAAB3.求证:22sincos1AAABC2sinsinsinAAA1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值.练习解:由勾股定理222213125BCABACABC13125sin13BCAAB12cos13ACAAB5tan12BCAAC12sin13ACBAB5cos13BCBAB12tan5ACBBC2.在Rt△ABC中,如果各边长都扩大2倍,那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化?ABC解:设各边长分别为a、b、c,∠A的三个三角函数分别为sincostanabaAAAccb,,则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c2sin2aaAcc2cos2bbAcc2tan2aaAbbABC3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,tanA=,求:sinA、cosB的值.43ABC8解:3tan4BCAAC8AC338644BCAC63sin105BCAAB22228610ABACBC63cos105BCBAB小结如图,Rt△ABC中,∠C=90度,因为0<sinA<1,0<sinB<1,tanA>0,tanB>0ABC0<cosA<1,0<cosB<1,22sincos1AA所以,对于任何一个锐角α,有0<sinα<1,0<cosα<1,tanα>0,sin,cos,tanBCACBCAAAABABACsin,cos,tanACBCACBBBABABBCsincos;cossinsin1tan;tancostanABABAAAAB定义中应该注意的几个问题:1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形)。2、sinA、cosA、tanA是一个比值(数值)。3、sinA、cosA、tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关。若已知锐角α的始边在x轴的正半轴上,(顶点在原点)终边上一点P的坐标为(x,y),它到原点的距离为r求角α的四个三角函数值。推广xyPOα(x,y)rsinα=,cosα=,tanα=,cotα=.22yxr+=ryxyrxyxM例4:如图,已知AB是半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若例题示范DPB那么()CDAB1.sin,.cos,.tan,.tanABCDB变题:如图,已知AB是半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若AB=10,CD=6,求.sinOCDBAP4sin54.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC,(1)求证:AC=BD;(2)若,BC=12,求AD的长。12sin13CDBCA5.如图,在△ABC中,∠C=90度,若∠ADC=45度,BD=2DC,求tanB及sin∠BAD.DABC1tan=3B310sin=10BADAD=8新人教版九年级数学(下册)第二十八章§28.2解直角三角形(1)复习30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表:锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana1222322212332331对于sinα与tanα,角度越大,函数值也越大;对于cosα,角度越大,函数值越小。问题:要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子,问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1m)?(2)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角a等于多少(精确到1°)?这时人是否能够安全使用这个梯子?这样的问题怎么解决问题(1)可以归结为:在Rt△ABC中,已知∠A=75°,斜边AB=6,求∠A的对边BC的长.问题(1)当梯子与地面所成的角a为75°时,梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度.因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8mABBCAsin75sin6sinAABBC所以BC≈6×0.97≈5.8由计算器求得sin75°≈0.97由得ABαC对于问题(2),当梯子底端距离墙面2.4m时,求梯子与地面所成的角a的问题,可以归结为:在Rt△ABC中,已知AC=2.4,斜边AB=6,求锐角a的度数由于4.064.2cosABACa利用计算器求得a≈66°因此当梯子底墙距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角大约是66°由50°<66°<75°可知,这时使用这个梯子是安全的.ABCαABabcC一般地,在直角三角形中,除直角外,共有五个元素即三条边和两个锐角在图中的Rt△ABC中,(1)根据∠A=75°,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?探究ABCα能sinsin6sin75BCABCABAABcosc
本文标题:28章-锐角三角函数(全章课件)
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