测量与误差分析

第二节测量的一般知识测量定义测量是指人们用实验的方法，借助于一定的仪器或设备，将被测量与同性质的单位标准量进行比较，并确定被测量对标准量的倍数，从而获得关于被测量的定量信息。测量的结果包括数值大小和测量单位两部分。数值的大小可以用数字表示，也可以是曲线或者图形。无论表现形式如何，在测量结果中必须注明单位。测量过程的核心是比较。注意：没有测量单位，测量结果是没有意义的。(写实验报告时应注意)测量方法分为直接测量和间接测量两大类。一、直接测量：就是能直接得到被测量的数值的测量方法。1.直接比较测量法：将被测量直接与已知其值的同类量进行比较，从而求得被测量。所使用的测量工具一般是直读指示式仪表，且已预先用标准量具进行了分度和校准。（如用电压表测电压，游标卡尺测长度）优点：测量过程简单、方便，应用广泛。2.微差测量法：将被测量和与其量值只有微小差别的已知量进行比较，测出这两个量值之间的差值。优点：当已知量精确度很高，而其值又很接近被测量时，用较低精度的测量仪表，也能得到高精度的测量结果。3.零位测量法：通过调整一个或几个已知数值的量使之与被测量达到平衡，从而确定被测量的测量方法。所使用的测量仪表一般包括标准量具和一个指零部件，也称平衡或补偿测量法。（如天平称重，平衡电桥）优点：可获得较高精确度。缺点：测量中需进行平衡操作，测量过程较复杂。二、间接测量：先对一个或几个与被测量有确定函数关系的量进行直接测量，然后通过代表该函数关系的公式、曲线或表格求得被测量。一般来说，间接测量法需要测量的量较多，因此测量和计算的工作量较大，引起误差的因素也较多。通常在采用直接测量很不方便，或误差较大，或缺乏直接测量仪器时，才使用间接测量。比如测物体的密度。有效数字1.概念数字分类：完全准确数字；有效数字。有效数字的构成(读取)：准确部分+一位非准确部分(误差所在位)。(I)物体长度L估读为4.27cm或4.28cm(II)右端恰好与15cm刻度线对齐,准确数字为“15.0”，再加上估读数“0”，则物体长度L的有效数字应记为15.00cm估计值，一般为最小分度值的1/10的整数倍如1/3，π等位数有限，如0.333，3.14159等有效数字位数的特点：a.位数与仪器最小分度值有关，与被测量的大小也有关；如用最小分度值0.01mm的千分尺测量的长度读数为8.344mm，用最小分度值为0.1mm的游标卡尺来测量，其读数为8.34mm。b.位数与小数点的位置（单位）无关；如重力加速度9.80m／s2，0.00980km／s2或980cm／s2都是三位有效数字c.位数粗略反映测量的误差.位数越多，测量的相对误差就越小,如8.344mm，8.34mm的相对误差,原则：五下舍，五上入，整五凑偶。如保留四位有效数字:3.1422.7174.5113.2166.3793.14159—2.71729—4.51050—3.21550—6.37850l—7.691499—7.691拟舍的第一位数字为5，其后无数字或皆为0保留末位为奇数,加1，保留末位为偶数,不变2有效数字的修约第三节误差理论基础一、误差的基本概念真值（Truevalue）：任何一个量的绝对准确值。约定真值：与真值的差可以忽略而可以代替真值的值。误差（error）：用测量仪表对被测量进行测量时，测量的结果与被测量的约定真值之间的差。二、误差分类按表示方法可分为三类:绝对误差相对误差引用误差按性质可分为三类:随机误差(偶然误差)系统误差粗大误差绝对误差：测量结果减去被测量的约定真值所得的差值。绝对误差有符号和单位，它的单位与被测量相同。0xxx测量仪器的修正值：就是与绝对误差大小相等、符号相反的量，用C表示。则C=–Δx=x0-x。于是被测量的约定真值x0=x+C。注意：修正值必须在仪器检定的有效期内使用，否则要重新检定，以获得准确的修正值。绝对误差愈小，说明指示值愈接近真值，测量精度愈高。但这一结论只适用于被测量值相同的情况，而不能说明不同值的测量精度。例如，某测量长度的仪器，测量10mm的长度，绝对误差为0.001mm；另一仪器测量200mm长度，绝对误差为0.01mm。这就很难按绝对误差的大小来判断测量精度高低了，这是因为后者的绝对误差虽然比前者大，但它相对于被测量的值却显得较小。为此引入相对误差的概念。相对误差：绝对误差与被测量真值的比值，常用百分数表示，即相对误差比绝对误差能更好地说明测量的精确程度。在上面的例子中显然，后一种长度测量仪表更精确。0100%xx10.001100%0.01%1020.01100%0.005%200使用相对误差评定测量精度，也有局限性。它只能说明不同测量结果的准确程度，但不适用于衡量测量仪表本身的精度。因为同一台仪表在整个测量范围内的相对误差不是定值。随着被测量的减小相对误差变大。为了更合理地评价仪表质量；采用了引用误差的概念。引用误差：以仪表的绝对误差与仪表量程之比的百分数表示。通常以最大引用误差来定义测量仪表的精度等级，即测量仪表一般采用最大引用误差不能超过的允许值作为划分精度等级的尺度。工业仪表常见的精度等级有0.1级，0.2级，0.5级，1.0级，1.5级，2.0级，2.5级，5.0级。精度密度和精确度等级为1.0的仪表，在使用时它的最大引用误差不超过±1.0％，也就是说，在整个量程内它的绝对误差最大值不会超过其量程的±1％。在具体测量某个量值时，相对误差可以根据精度等级所确定的最大绝对误差和仪表指示值进行计算。maxmin100%100%mxxxxx100%mmxxmax例如一台仪表的最大引用误差为0.45％，则我们就说该仪表的精度为0.5级。由此可以看到，最大引用误差只能用来作为判断仪表精度的尺度，而不能直接用引用误差的大小来表示仪表的精度，因为仪表的精度等级国家是有统一规定的。max51001.25%4000％max51002.5%200％以上两例可以看出，相同的绝对误差，其量程大的仪表引用误差小，而量程小的仪表引用误差大。一般我们用仪表最大引用误差的大小来作为判断仪表精度的尺度。例1一台测量仪表，其标尺范围为0－400℃。已知其绝对误差最大值。求其引用误差。5Cmt例2另一台测量仪表，标尺范围为0－200℃。已知其绝对误差最大值。求其引用误差。ctm5精度等级的表示方法：1级表示为1.0，1.5级表示为1.5。一般都标注在仪表的表盘上。强调指出：前例中的，其仪表精度等级即为1.5级。，其仪表精度等级即为2.5级。max1.25%max2.5%1.51.5精度的表达通常是以仪表最大引用误差去掉百分号的数字，向上归整的相应精度等级来表达所谓1级表，即指该表的最大引用误差%1%5.0max例：已知某一被测电压约为10V，现有如下两块电压表（1）150V，0.5级；（2）15V，2.5级。问选择哪一块表测量误差较小？提示：100%mmxx按表示方法可分为三类:绝对误差相对误差引用误差按性质可分为三类:随机误差(偶然误差)系统误差粗大误差1.随机误差δ(RandomError):在实际相同条件下，对同一被测量进行多次等精度测量时，由于各种随机因素（如温度、湿度、电源电压波动、磁场等）的影响，各次测量值之间存在一定差异，这种差异就是随机误差。特点：随机误差表示了测量结果偏离其真实值的分散情况。一般分布形式接近于正态分布。消除方法：可采用在同一条件下，对被测量进行足够多次重复测量，取其算术平均值作为测量结果的方法。测量条件引起误差的原因误差特点随机误差的处理方法1.概率、概率密度与正态分布自然界中，某一事件或现象出现的客观可能性大小，通常用概率来表示。客观的必然现象称为必然事件。例如，平面三角形内角和为180°，就是一个必然事件。必然事件的概率为1。违反客观实际的不可能出现的现象称为不可能事件，不可能事件的概率为零。客观上可能出现，也可能不出现，而且不能预测的现象称为随机事件或随机现象。它具有一定的概率，且概率在0和1之间。例如抛掷硬币，出现正面朝上或反面朝上的现象，即为一随机事件。当抛掷次数无限加多时，它们的概率接近0.5。在数学中，一个连续型随机变量的概率密度函数是一个描述这个随机变量的输出值在某一个确定的取值点附近的可能性的函数。性质1：性质2：)2exp(21)(22f设正态分布的随机变量X的误差为：µ为被测量的真值，则随机误差δ的概率密度函数f(δ)如右上图所示：X符合正态分布的随机误差，其概率密度函数的数学表达式为：2.正态分布随机误差的特点（1）对称性随机误差可正可负，但绝对值相等的正、负误差出现的机会相等。也就是说f(δ)~δ曲线对称于纵轴。（2）单峰性绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差出现的机会多，即前者比后者的概率密度大，在δ=0处随机误差概率密度有最大值。（3）有界性在一定测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定的范围，即绝对值很大的随机误差几乎不出现。（4）抵偿性在相同条件下，当测量次数n→∞时，全体随机误差的代数和等于零。3.正态分布随机变量的数字特征3.1算术平均值当测量次数无穷大时，被测量的真值就等于测量值的算术平均值，及算术平均值是被测量真值的最佳估计值。221111lim()limnninniixnn方差就是当等精度测量次数无穷增加时，测量值与真值之差的平方和的算术平均值，用σ2表示：3.2方差和标准偏差：用于反映测量值偏离真值的程度。22211()limlimnniiinnxnn方差的正平方根称为标准偏差，即：概率密度函数曲线的形状取决于σ。σ越小，则分布曲线越陡，随机误差的分散程度越小，这是人们希望得到的；σ越大，则分布曲线越平坦，随机误差越分散。理论计算表明：介于(-σ，+σ]之间的随机误差出现的概率为介于(-2σ，+2σ]之间的随机误差出现的概率为介于(-3σ，+3σ]之间的随机误差出现的概率为出现在此区间之外的概率为1-0.9973＝0.00270.3％。6827.0)(df9545.0)(22df9973.0)(33df标准误差的最佳估计值可由下式计算（贝塞尔公式）ˆniiniivnxxn121211)(11ˆ式中，为第i次测量值的残差。其中为第i次测量值，为所有测量值的算术平均值。准确的标准偏差是在真值已知、且测量次数无穷大时才能得到，在实际中无法使用，我们只能求得其最佳估计值。ˆiivxxxix在相同条件下，对同一被测量进行多次等精度测量时，有个别测量结果的误差远远大于规定条件下的预计值。这类误差一般由于测量者粗心大意或测量仪器突然出现故障等造成。称之为粗大误差（或寄生误差）。消除方法：凡粗大误差应予以剔除。实际中常采用拉依达准则，即当测量次数足够多时，若那么第i次测量值xi就存在粗大误差，应予以剔除。测量条件引起误差的原因误差特点ˆ3iivxx2.粗大误差（GrossError）：3．系统误差ε(SystematicError)：定义：分析过程中某些确定的、经常性的因素引起的误差。（可测误差）计算：在重复测量条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减去真值anx)(特点：（1）重现性即重复测定重复出现（2）单向性即误差或大、或小、或正、或负（3）可测性即误差恒定，可以校正产生系统误差的主要原因：来源方法误差：由于分析方法本身不够完善或有缺陷而造成的误差称~仪器误差：仪器不够精确而造成的误差试剂误差：试剂不纯和蒸馏水中的微量杂质而造成的误差操作误差：由于分析者的实际操作与正确的操作规程有所出入而造成的误差备注因人而异不因人而异残差观察法测量数据的误差分析对直接测量数据的误差分析步骤：1、剔除所有测量数据中的所有粗大误差。2、判断有无系统误差，若有则采用相应的校正或补偿