生物统计学3 概率定义

二、概率（一）概率的统计定义研究随机试验，仅知道可能发生哪些随机事件是不够的，还需了解各种随机事件发生的可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规律性，从而指导实践。这就要求有一个能够刻划事件发生可能性大小的数量指标，这指标应该是事件本身所固有的，且不随人的主观意志而改变，人们称之为概率（probability）。事件A的概率记为P（A）。概率的统计定义在相同条件下进行n次重复试验，如果随机事件A发生的次数为m，那么m/n称为随机事件A的频率（frequency）；当试验重复数n逐渐增大时，随机事件A的频率越来越稳定地接近某一数值p，那么就把p称为随机事件A的概率。这样定义的概率称为统计概率（statisticsprobability），或者称后验概率（posteriorprobability）。在一般情况下，随机事件的概率p是不可能准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。即P（A）=p≈m/n（n充分大）（4-1）（二）概率的古典定义对于某些随机事件，用不着进行多次重复试验来确定其概率，而是根据随机事件本身的特性直接计算其概率。有很多随机试验具有以下特征：1、试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间中的基本事件只有有限个；2、各个试验的可能结果出现的可能性相等，即所有基本事件的发生是等可能的；3、试验的所有可能结果两两互不相容。具有上述特征的随机试验，称为古典概型（classicalmodel）。对于古典概型，概率的定义如下：设样本空间由n个等可能的基本事件所构成，其中事件A包含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即P（A）=m/n(4-2)这样定义的概率称为古典概率(classicalprobability)或先验概率(priorprobability)。【例4.1】在编号为1、2、3、…、10的十头猪中随机抽取1头，求下列随机事件的概率。（1）A=“抽得一个编号≤4”；（2）B=“抽得一个编号是2的倍数”。因为该试验样本空间由10个等可能的基本事件构成，即n=10,而事件A所包含的基本事件有4个，即抽得编号为1，2，3，4中的任何一个，事件A便发生，于是mA=4，所以P(A)=mA/n=4/10=0.4同理，事件B所包含的基本事件数mB=5，即抽得编号为2，4，6，8，10中的任何一个，事件B便发生，故P(B)=mB/n=5/10=0.5。【例4.2】在N头奶牛中，有M头曾有流产史，从这群奶牛中任意抽出n头奶牛，试求:(1)其中恰有m头有流产史奶牛的概率是多少？(2)若N=30，M=8，n=10，m=2，其概率是多少？我们把从有M头奶牛曾有流产史的N头奶牛中任意抽出n头奶牛，其中恰有m头有流产史这一事件记为A，因为从N头奶牛中任意抽出n头奶牛的基本事件总数为；事件A所包含的基本事件数为；因此所求事件A的概率为：nNCmnMNmMCCnNmnMNmMCCCAp.)(将N=30，M=8，n=10，m=2代入上式，得=0.0695即在30头奶牛中有8头曾有流产史，从这群奶牛随机抽出10头奶牛其中有2头曾有流产史的概率为6.95%。103021083028.CCCAp）（例：在电话号码薄中任取一个电话号码,求后面4个数全不相同的概率.(设后面4个数中的每一个数都等可能地取自0,1.2,…,8,9).例：历史上有名的“生日问题”某班级有n个人（n365）问至少有两个人的生日在同一天的概率是多大？表所列出的答案足以引起大家的惊奇，因为“一个班级中至少有两个人生日相同”这个事件发生的概率并不如发多数人想象的那样小，而是足够大，从表中可以看出，当班级人数达到23时，就有半数以上的班级会发生这件事情，而当班级人数达到50人时，竟有97％的班级会发生上述事件，当然这里所讲的半数以上，有97％都是对概率而言的，只是在大数次的情况下（就要求班级数相当多），才可以理解为频率。从这个例子告诉我们“直觉”并不可靠，从而更有力的说明了研究随机现象统计规律的重要性。n１０２０２３３０４０５０Ｐ（Ａ）0.120.410.510.710.890.97P(A)如下表：（三）概率的定义及性质在随机试验样本空间Ω上对每个时间A都有对应的实数P（A），如果这样的P（A）满足：1、对于任何事件A，有0≤P（A）≤1；2、必然事件的概率为1，即P（Ω）=1；3、不可能事件的概率为0，即P（ф）=0。4、A1，A2，……Ai为互斥事件，则P（A1+A2+……+Ai）=P（A1）+P（A2）+……+P（Ai）则称P（A）为事件A的概率概率的困惑:有无限多结果而又不具有等可能性（五）概率的一般运算5.1加法原理定理1两个互不相容事件的和的概率，等于这两个事件的概率之和：由此定理推广得下面定理2定理2有限个互不相容事件的和的概率，等于这些事件的概率之和：推论1如果一组事件构成互不相容的完备事件组，则这些事件的概率之和为1.推论2对立事件的概率之和为一定理3任意二事件的和的概率，等于这二事件的概率的和减去这二事件的积的概率.定理4任意有限个事件的和的概率可按下面的公式计算：注:特别是只有三个事件A、B、C时，有5.2条件概率.)()()|(,0)(,,条件概率发生的发生的条件下事件为在事件称且是两个事件设ABBPABPBAPBPBAABAB);()()()()3(212121BAAPBAPBAPBAAP).(1)()4(BAPBAP则有件是两两不相容的事设可加可列性,,,A,A:)5(21.)BA(PBAP1ii1ii性质;1)(0:)1(BAP有界性0)B|(PBP1,)((2)规范性例2某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?例1掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?则有且,0)(121nAAAP,2,,,,21nnAAAn个事件为设推广则有且为事件设,0)(,,,ABPCBA()()()().PABCPAPBAPCAB).()()(,0)(APABPABPAP则有设5.3.乘法定理)()()()()(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP练习:exer5-2-3;注：独立事件定义对于两个事件A和B，若P（AB）=P（A）P（B），则称A、B为相互独立事件等价于：P（A|B）=P（A），即B的发生对A没有任何影响独立与互斥的关系两事件相互独立)()()(BPAPABP两事件互斥AB二者之间没有必然联系0)(BAP性质•必然事件及不可能事件与任何事件A相互独立.•若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立.①；与BA②；与BA③.BA与例1：甲,乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求敌机被击中的概率.例2：设某型号的高射炮发射一发炮弹击中敌机的概率为0.6，现用此型号的炮若干门同时各发射一发炮弹.问至少需要设置多少门，才能以不小于0.95的概率击中敌机.例3：加工某一零件共需经过三道工序.设第一、二、三道工序的次品率分别是2%、3%、5%.假定各道工序是互不影响的,问加工出来的零件的次品率是多少？Exer6-1.19注：生物学问题中，还可以根据实验条件及生物学知识判断事件的独立性。如发烧和白细胞增多不独立，长疖子和患胃病相互独立.,,,,2;,,2,1,,1,,,,,21210021的一个划分为样本空间则称　　　　　　若的一组事件为的样本空间为试验设　　定义nnjinAAAAAAnjiAAEAAAE1.样本空间的划分1A2A3AnA1nA5.4全概率公式2.全概率公式全概率公式)|()()()|()()|()()|()(),,,2,1(0)(,,,,,,1221121iniinninABPAPAPABPAPABPAPABPBPniAPAAAEBE则且的一个划分为的事件为的样本空间为试验设定义称此为贝叶斯公式.5.5贝叶斯公式.,,2,1,)()|()()|()|(),,,2,1(0)(,0)(,,,,,,121niAPABPAPABPBAPniAPBPAAAEBEnjjjiiiin则且的一个划分为的事件为的样本空间为试验设定义Bayes公式的意义是：假设导致事件A发生的“原因”有Bi(i=1,2,…,n)。它们互不相容，现已知事件A确已经发生了，若要估计它是由“原因”Bi所导致的概率，则可用Bayes公式求出.即可从结果分析原因.比如医生诊断病人所患何病(A1,A2,……Ai中的某一个),他确定某种症状B(如体温,某种化验指标等等)出现,现在实际就是求P(Ai|B),通过比较它们的大小就可对疾病作出诊断,此时Bayes公式显然是很有用的,在这里,P(Ai)是人患各种疾病可能性大小,这可以从资料中获得,而P(B|Ai)确定则要依靠医学知识,有了它,就可求P(Ai|B),如果综合从多个症状所得到的条件概率P(Ai|B),诊断会更准确些.举例:吃不下饭(群众容貌,伙食,环境不好)例1：有朋友自远方来,他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机的概率分别是0.3、0.2、0.1和0.4,而他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机迟到的概率分别是0.25、0.3、0.1和0,实际上他迟到了,请推测他坐哪种交通工具来的可能性最大.例2：临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症具有如下的效果，对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占95%,对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者占96%。现在用这种试验对某市居民进行癌症普查,如果该市癌症患者数约占居民总数的0.4%，求:(1)试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率；(2)试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率.