医用高数第二章一元函数微分学第三节微分

第三节微分一、微分的概念三、微分的基本公式与法则四、一阶微分形式不变性二、微分与导数的关系一、微分的概念1．面积改变量的大小一块正方形金属薄片受温度变化的影响时,其边长由变化到,问此薄片的面积改变了多少?0xxx02xSxxxx2)(xxxxx22)(xxxS2)(2xxx)1()2(;,的主要部分且为的线性函数Sx.,很小时可忽略当的高阶无穷小xx:)1(:)2(2.自由落体运动路程的改变量自由落体路程与时间的关系是st221gts当时间由变到时,路程有相应的改变量0ttt0s202021)(21gtttgs20)(21tgtgt)1()2(;,的主要部分且为的线性函数st.,很小时可忽略当的高阶无穷小tt:)1(:)2(tgts0xxS2面积改变量路程改变量共性函数改变量)(xoxAy)1()2(;,的主要部分且为的线性函数yx.,很小时可忽略当的高阶无穷小xx:)1(:)2(xAy问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?既容易计算又是较好的近似值定义2-2设函数在某区间内有定义,及在这区间内,如果函数的增量可表示为)(xfy0xxx0)(xoxAyxAdyxx0其是不依赖于的常数,而是比高阶的无穷小,那么称函数在点是可微的,叫做函数在点相应于自变量增量的微分,记作,即Ax)(xox)(xfy0xxA)(xfy0xx0xxdy函数在任意点处的微分,称为函数的微分,记为或)(xfyxdy)(xdfxAdy由定义知:;)1(的线性函数是自变量的改变量xdy;)()2(高阶无穷小是比xxodyy;,0)3(是等价无穷小与时当ydyAdyyxAxo)(1).0(1x;)(,)4(0有关和但与无关的常数是与xxfxA).(,)5(线性主部很小时当dyyx)(xfy0xMNTdyy)(xo）xyox.,的增量纵坐标对应就是切线标增量时曲线的纵坐是当dyyxx0P.,,MNMPMx可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当微分的几何意义).(,)()(000xfAxxfxxf且可导处在点数可微的充要条件是函在点函数证明(1)必要性可微在点0)(xxf)(xoxAyxxoAxy)(xxoAxyxx)(limlim00则A).(,)(00xfAxxf且可导在点即函数).(.0xfA可微可导即:二、微分与导数的关系(2)充分性),()(0xxxfy从而可导在点函数0)(xxf)(lim00xfxyx)0(0x)()(0xoxxf.)(,)(00Axfxxf且可微在点函数xxfxAdy)()(0xfxy即.,,xdxdxxx即记作称为自变量的微分的增量通常把自变量dxxfdy)()(xfdxdy..微商导数也叫的导数之商等于该函数与自变量的微分即函数的微分dxdy解xxdy)(3xx2302.02202.023xxxxxxdy24.0.02.0,23时的微分当求函数xxxy例2-29基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221三、微分的基本公式与法则dxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx2211)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvuddxxxarcddxxxd2211)cot(11)(arctan解2221xxexxeydxexxedyxx2221解)(cos)(cos3131xdeedxdyxxxxeexxsin)(cos3)(3131dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131dxxxex)sincos3(31.),ln(2dyexyx求设例2-30.,cos31dyxeyx求设例2-31;)(,)1(dxxfdyx是自变量时若则的可微函数即另一变量是中间变量时若),(,)2(txtx)()(xfxfy有导数设函数dttxfdy)()(dxdtt)(.)(dxxfdy结论：的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyx微分形式的不变性dxxfdy)(四、一阶微分形式不变性解2bxaxueyuduedyu)()(2bxaxdeu.,2dyeybxax求设例2-32dxbxaebxax)2()(2.),2ln(2dyxxy求设例2-33)2(2122xxdxxdy解dxxxx2122主要内容微分的定义微分的几何意义:切线纵坐标的改变量可导与可微的关系:可导可微微分公式一阶微分形式不变性的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyxdxxfdy)(