10-1 收敛原理与数项级数

无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数付氏级数第十章10－1柯西收敛原理与数项级数的概念1.柯西收敛原理定理1（柯西收敛原理）an设是一个数列，na则有极限的充分必要条件是：0,N自然数，满足：aanm只要nN,mN就有-。•满足定理1条件的序列称为柯西序列.•柯西收敛原理给出了由序列本身性态判断序列是否收敛的一个重要方法.2.数项级数及其收敛性的概念na其中称为级数的通项。形如1231nnnaaaaa的式子称为常数项无穷级数。定义对于给定级数，我们把级数的前n项和称为级数的部分和.则称无穷级数收敛,并称S为级数的和,记作则称无穷级数发散.例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)的敛散性.解1)若qqaan1从而qannS1lim因此级数收敛,;1qa从而,limnnS则部分和因此级数发散.其和为2).若因此级数发散;因此nSn为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,1q时,等比级数收敛;1q时,等比级数发散.则级数成为,a,0不存在,因此级数发散.例2判别下列级数的敛散性:解(1)12lnnSnnln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln)1ln(n）n(所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和23ln34lnnn1ln(2))1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数(2)收敛,其和为1.31214131111nn技巧:利用“拆项相消”求和由级数可以得出级数的部分和，反之，也可以由级数的部分和确定级数。101,,0nnknnnksaasss若则其中规定。定理3（级数收敛的必要条件）设收敛级数则必有证1nnnSSa1limlimlimnnnnnnSSa0SS可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.注意:0limkka并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.（后面将证明此调和级数发散.）柯西收敛原理给出了级数收敛的充分必要条件。定理4（级数收敛的柯西准则）1nna级数收敛的充分必要条件是：0,,N存在自然数只要nN,则有1,1,2,3,npkknap自然数证明1,knnkksa令1nnan则级数收敛序列s收敛0,,,1,2,3,,NnNp自然数只要则对任意自然数,nnpss1,npkkna此即为证毕。考查调和级数的收敛性.这个级数的通项趋于零，满足收敛的必要条件，因而不能立即断定它收敛或发散.根据柯西收敛原理，我们应该考虑形如显然，不论n多大，只要取P足够大(即取项数足够多),上述形式的和就不趋于零。比如，任意取定n后，取p=n,那么这就表明调和级数是发散的.的和当时是否趋于零，这就证明了这个级数是收敛的.调和级数是发散的,而是收敛的.从直观上可以这样理解：两者的通项虽然都趋于零，但前者通项趋于零的速度较慢，从而导致部分和不收敛；而后者通项趋于零的速度较快，保证了部分和收敛.一般说来，通项趋于零的速度达到一定程度，就能保证级数的收敛性.也收敛,且其和为111,,(),nnnnknknkkkkkAaBbCab记证明，则有nnnBAClimlimlimlimnnnnnnnnnCABAB（）12SS。3.收敛级数的性质12SS。（1）设级数与都收敛,并分别收敛于12,,SS则级数证明11limlimnnkknnkkCaCaCS。1lim,nknkaS(3)设有两级数1,nna1,nnb且有自然数N，满足,,kkabkN则两级数有相同的敛散性。证明可由级数收敛的柯西准则得出。并收敛于(2)若级数收敛于，数也收敛，则对于任意常数，级在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.（4）收敛级数任意加括号后形成的新级数仍然收敛于原来的和...)....()()(9654321uuuuuuu证明设有收敛级数S=u1+u2+u3+….+un+….由此知:若加括号后形成的新级数发散,则原级数也发散.设任意加括号后所成的新级数为用σm表示这个级数的前m项(共有m个括号)之和,用Sn表示相应于σm的原级数中共有n项之和,即nmSSSS,...,,935221SSnmmnnnmmlimlim,,,,所以有时当显然例如级数（1-1）+（1+1）+…收敛于零，但级数1-1+1-1+…却是发散的根据性质4可得如下结论：如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散.注意:如果加括号后所成的级数收敛,则不能断定去括号后原来的级数也收敛。性质(4)表明:有限个项加法的结合律,对于收敛级数是成立的。但应注意,对于发散级数不成立,例如发散级数1-1+1-1+....+(-1)n-1+.....加上括号后形成的新级数(1-1)+(1-1)+......+(1-1)+...是收敛于0的,由此可见,我们不能把有限个数的运算律随便搬到无穷级数中来。111nn