第二讲：曲线的参数方程

1、参数方程的概念：如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时时机呢？提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？？救援点投放点1、参数方程的概念：xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。0,y令100,1010.xtxm代入得txy解：物资出舱后，设在时刻，水平位移为，垂直高度为，所以2100,1500.2xtygt.1010所m以，飞行员在离救援点的水平距离约为时投放物资，可以使其准确落在指定位置(),().xftygt（2）那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。1、参数方程的概念：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数的值。上，求在曲线、已知点的位置关系与曲线、判断点为参数的参数方程、已知曲线例aCaMCMMttytxC),6()2()4,5(),1,0()1()(.12,313212上。不在曲线点这个方程组无解，所以代入方程组，得到把点上。在曲线所以代入方程组，解得的坐标把点解：CMttMCMtM2221112435)4,5(0)1,0()1(99,21236),6()2(23aattatCaM所以，解得上，所以在曲线、因为点)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cossin2DCBAyx，、，、，、的一个点的坐标是表示的曲线上为参数、方程()CyxorM(x,y)0M2202000)()()(sincosryyxxryrxyx对应的普通方程为为参数径，并化为普通方程。表示圆的圆心坐标、半所为参数、指出参数方程)(sin235cos22yx4)3()5(22yx_____________4)0(sin2cos3，则圆心坐标是是的直径为参数，、圆rrryrrx（2，1）例1、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴参数方程为sin3cos1yx(θ为参数)例2如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQ)(sin3cossin2sin2,3cos26cos2),sin2,cos2(,),(为参数的轨迹的参数方程是所以，点由中点坐标公式得：的坐标是则点，的坐标是解：设点yxMyxPxOPyxM的交点。为参数求它与曲线为参数程为、若已知直线的参数方)(sin2cos2)(115yxttytx)2,0()0,2(4024)(sin2cos202)(112222和得焦点坐标为解方程组的普通方程为为参数曲线的普通方程为为参数解：参数方程yxyxyxyxyxttytx)()(tgytfx3、参数方程和普通方程的互化注意：参数方程化为普通方程的步骤：)(21113为参数）（表示什么曲线？普通方程，并说明各、把下列参数方程化为例ttytx)()1,1()1(32,1132,211111包括端点为端点的一条射线这是以普通方程是所以与参数方程等价的又得到代入有）由解：（xxytxxytyxttxyxo(1,-1)为参数）设（为参数。）设（的参数方程、求椭圆例ttyxyx,22,cos31149422)(sin2cos3149,sin2sin2sin4)cos1(4,149cos9cos312222222为参数的参数方程是所以椭圆的任意性，可取由参数即所以代入椭圆方程，得到）把解：（yxyxyyyyxtytxttytxyxtxtxtxty213)(21314913),1(9144922222222222和为参数的参数方程是所以，椭圆于是代入椭圆方程，得）把（小结：（1）圆：（x－x0）2+（y－y0）2=r2sincos00ryyrxx（为参数）（2）椭圆：)0(,12222babyaxsincosbyax（3）双曲线：)0,0(,12222babyaxbtgyaxsec（4）抛物线：y2=2px（p0）ptyptx222