3.7正弦定理、余弦定理及其应用

3.正弦定理和余弦定理及其应用1.正弦定理:,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:（1）a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;（2）a=,b=,c=;（3）等形式,以解决不同的三角形问题.RCcBbAa2sinsinsin2RsinCRcCRbBRaA2sin,2sin,2sin2RsinA2RsinB考点归纳2.余弦定理:a2=,b2=,c2=.余弦定理可以变形为:cosA=,cosB=,cosC=.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosCbcacb2222acbca2222abcba2222为锐角、钝角或直角。断值的大小比较，可以判与故由即为钝角，则若即为锐角，则若CcbacbaCcbaC222222222.,0cosC;,0cosC正、余弦定理的一个重要作用是实现边角互化，余弦定理亦可以写成,cossinsin2sinsinsin222ACBCBA类似地，,cossinsin2sinsinsin222BCACAB,cossinsin2sinsinsin222CBABAC注意式中蕴含条件CBA3．三角形中的常见结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)有关三角形内角的常用三角函数关系式sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC;sin＝cos；cos＝sin；若三角形三边a,b,c成等差数列，则312tan2tan2cos2cos22cos2sin2sinsinsin22CACACACABCABcab4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及任一边，求其它边或角；（2）已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况（2）中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题：（1）已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；（2）已知三边问题.5.解三角形的类型已知a，b和A解三角形时，解的情况如下4．实际问题中的有关术语、名称(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．(2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(3)坡度：坡面与水平面的二面角的度数(锐角)．2．余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC与勾股定理c2＝a2＋b2有什么关系？提示：当C＝90°，即c为Rt△ABC的斜边时，c2＝a2＋b2－2abcosC就是勾股定理，所以勾股定理是余弦定理的特殊情况．题型一正弦定理的应用(1)在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A、C和边c；（2）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°.求边b和c；（3）在△ABC中，a，b，c分别是∠A,∠B,∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2-c2=ac-bc，求∠A及的值.【例1】32cBbsin练习1在△ABC中，若b=,c=1,B=45°,求a及C的值.解由正弦定理得因为cb,所以CB,故C一定是锐角，所以C=30°,所以A=105°，.21sin,sin145sin2CC所以.226105sin2,105sin30sin1aa所以所以2题型二余弦定理的应用在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.由利用余弦定理转化为边的关系求解.解（1）由余弦定理知：【例2】.2coscoscabCB13思维启迪,2coscoscabCB,2cos222acbcaB.2cos222abcbaC.32,2122cos:222:2coscos222222222222BBacacacbcaBacbcacabcbaabacbcacabCB为三角形的内角整理得得将上式代入.433sin21.3),211(216cos22)(,cos232,4,13)2(222222BacSacacbBacaccabBaccabBcabABC得代入将练习2已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.解依题意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,.342tan12tan2tan.22tan:,2cos42cos2sin222CCCCCCC从而化简得所以题型三三角形形状的判定在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.【例3】练习3在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解析方法一因为在△ABC中，A+B+C=π，即C=π-（A+B），所以sinC=sin(A+B).由2sinAcosB=sinC,得2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.又因为-πA-Bπ,所以A-B=0,即A=B.所以△ABC是等腰三角形，故选B.方法二利用正弦定理和余弦定理2sinAcosB=sinC可化为即a2+c2-b2=c2,即a2-b2=0,即a2=b2,故a=b.所以△ABC是等腰三角形.答案B,22222cacbcaa题型四三角形的综合应用在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a-c）cosB=bcosC.(1)求角B的大小；(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.【例4】7备用1.在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c,设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和求角A和tanB的值.,321bc作业:BbaCAsin)()sin(sin222222.在三角形ABC中，a,b,c分别为三内角A，B，C的对边，已知且三角形ABC的外接圆半径为（1）求角C；（2）求三角形ABC面积S的最大值；3.在三角形ABC中，a,b,c分别为三内角A，B，C的对边，若a,b,c成等比数列，（1）求B的取值范围；（2）求)cos(sin2sin1CABBy得取值范围；