选修4-4 第一节 坐标系

选修4-4坐标系与参数方程第一节坐标系抓基础明考向提能力返回[备考方向要明了]考什么1.理解坐标系的作用．2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．3.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．返回考什么4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.返回怎么考从高考内容上来看，极坐标与直角坐标的互化是命题的热点，尤其是涉及直线与圆的极坐标方程问题，属中档题，题型多为填空题与解答题.返回返回一、极坐标系与极坐标在平面内取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox、一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O点称为极点，Ox称为极轴．平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为，θ称为．极径极角返回二、点的极坐标和直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，可以得出它们之间的关系：x＝，y＝.又可得到关系式：ρ2＝，tanθ＝(x≠0)．这就是极坐标与直角坐标的互化公式．x2＋y2ρsinθρcosθyx返回三、常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆(0≤θ＜2π)ρ＝r返回曲线图形极坐标方程圆心为(r,0)，半径为r的圆(－π2≤θ＜π2)圆心为(r，π2)，半径为r的圆(0≤θ＜π)ρ＝2rcosθρ＝2rsinθ返回曲线图形极坐标方程过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线(－π2＜θ＜π2)过点(a，π2)，与极轴平行的直线(0＜θ＜π)ρcosθ＝aρsinθ＝a返回返回1.(2012·福州模拟)在极坐标系中，求经过点P4，－23π且与极轴所在直线垂直的直线方程．解：∵x＝ρcosθ＝4cos－23π＝－2，y＝ρsinθ＝4sin－23π＝－23，∴点P的直角坐标为－2，－23.∴过点P且与x轴垂直的直线方程为x＝－2，即极坐标方程为ρcosθ＝－2.返回2．求圆心为C3，π6，半径为3的圆的极坐标方程．解：如图，设圆上任一点为P(ρ，θ)，则|OP|＝ρ，∠POA＝θ－π6，|OA|＝2×3＝6，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|×cos∠POA，∴ρ＝6cosθ－π6.∴圆的极坐标方程为ρ＝6cosθ－π6.返回3．(2011·广东高考改编)已知直线l的参数方程为：x＝2t，y＝1＋4t(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝22sinθ，试判断直线l与圆C的位置关系．返回解析：将直线x＝2ty＝1＋4t化为普通方程得y＝1＋2x，圆ρ＝22sinθ的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝2，圆心(0，2)到直线y＝1＋2x的距离为2－15，小于圆的半径，所以直线与圆相交．返回1．由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．返回2．由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形的对称性：若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝π2所在的直线对称；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点Ο对称．返回返回[精析考题][例1]在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x2＋y2＝1变换为椭圆x29＋y24＝1.返回[自主解答]将变换后的椭圆的方程x29＋y24＝1改写为x′29＋y′24＝1，设伸缩变换为x′＝λxλ0，y′＝μyμ0，代入上式得λ2x29＋μ2y24＝1，即λ32x2＋μ22y2＝1.与x2＋y2＝1比较系数，得λ32＝1，μ22＝1，返回故λ＝3，μ＝2，所以伸缩变换为x′＝3xy′＝2y，即先使圆x2＋y2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x29＋y2＝1，再将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x29＋y24＝1.返回本例条件变为“求圆x2＋y2＝1经过伸缩变换x′＝2xy′＝3y后的图形”解：由x′＝2xy′＝3y∴x＝12x′y＝13y′代入x2＋y2＝1，得x′24＋y′29＝1.∴经过伸缩变换x′＝2xy′＝3y后圆x2＋y2＝1变为椭圆x24＋y29＝1.返回[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x′＝12x，y′＝3y，则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为________．返回答案：y＝3sin2x解析：∵x′＝12x，y′＝3y，∴x＝2x′，y＝13y′.代入y＝sinx得y′＝3sin2x′.返回2．通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆x＋129＋y－124＝1变为中心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换合成的变换．返回解：先通过平移变换x′＝x＋1，y′＝y－1，把椭圆x＋129＋y－124＝1变为椭圆x′29＋y′24＝1.再通过伸缩变换x″＝x′3，y″＝y′2，把椭圆x′29＋y′24＝1变为单位圆x″2＋y″2＝1.由上述两种变换合成的变换x″＝13x＋1，y″＝12y－1.返回[冲关锦囊]平面直角坐标系中两种常见变换1．平移变换：在平面直角坐标系中，设图形F上任意一点P的坐标为(x，y)，向量a＝(h，k)，平移后的对应点为P′(x′，y′)，则有(x，y)＋(h，k)＝(x′，y′)，或表示成x＋h＝x′，y＋k＝y′.返回2．伸缩变换：一般地，由kx＝x′，y＝y′k0所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着y轴的伸缩变换(当k＞1时，表示伸长；当0k＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍(这里，P(x，y)是变换前的点，P′(x′，y′)是变换后的点).返回[精析考题][例2]进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：(1)y2＝4x；(2)x2＋y2－2x－1＝0；(3)ρ＝12－cosθ.返回[自主解答](1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ.化简，得ρsin2θ＝4cosθ.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsinθ)2＋(ρcosθ)2－2ρcosθ－1＝0，化简，得ρ2－2ρcosθ－1＝0.返回(3)∵ρ＝12－cosθ，∴2ρ－ρcosθ＝1.∴2x2＋y2－x＝1.化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.返回[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)3．(2012·佛山调研)在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－3)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是________．解析：ρ＝x2＋y2＝2，tanθ＝－31＝－3，θ＝－π3＋2kπ.答案：2，－π3返回4．(2012·江苏省重点学校联考)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．返回解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ.∴圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即(x－12)2＋(y－12)2＝12.直线l：ρsin(θ－π4)＝22即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0，得x＝0，y＝1，故直线l与圆O公共点的一个极坐标为1，π2.返回[冲关锦囊]1．将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由tanθ＝yx(x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可．2．极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(或除以)ρ等技巧.返回[精析考题][例3](1)(2011·广东高考)设点A的极坐标为2，π6，直线l过点A且与极轴所成的角为π3，则直线l的极坐标方程为_____________．返回(2)(2011·湖南高考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝cosα，y＝1＋sinα(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为______．返回[自主解答](1)∵点A的极坐标为2，π6，∴点A的平面直角坐标为(3，1)，又∵直线l过点A且与极轴所成的角为π3，∴直线l的方程为y－1＝(x－3)tanπ3.即3x－y－2＝0.∴直线l的极坐标方程为3ρcosθ－ρsinθ－2＝0，可整理为ρcos(θ＋π6)＝1或ρsin(π3－θ)＝1或ρsin(θ－4π3)＝1.返回[答案](1)ρcos(θ＋π3)＝1或ρsin(π3－θ)＝1或ρsin(θ－4π3)＝1.(2)2(2)曲线C1的普通方程是x2＋(y－1)2＝1，曲线C2的直角坐标方程是x－y＋1＝0，由于直线x－y＋1＝0经过圆x2＋(y－1)2＝1的圆心，故两曲线的交点个数是2.返回[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)5．(2012·江西九校联考)在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线C2：θ＝π4，若曲线C1与C2交于A、B两点，求线段AB的长．返回解析：曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由ρ＝2cosθ，θ＝π4得ρ＝2，θ＝π4即曲线C1与C2的另一个交点，与极点的距离为2，因此AB＝2.返回6．(2012·皖南八校联考)已知直线l的参数方程是x＝1＋12t，y＝32t(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋4sinθ，求直线l被圆C所截得的弦长．返回解析：依题意得，直线l的普通方程是y＝3(x－1)，即3x－y－3＝0；圆C的直角坐标方程是x2＋y2＝2x＋4y，即(x－1)2＋(y－2)2＝5.圆心C(1,2)到直线l的距离等于|3×1－2－3|3＋1＝1，因此直线l被圆C所截得的弦长等于252－12＝4.返回[冲关锦囊]1．求曲线的极坐标方程与直角坐标系里的情况一样，就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系，然后列出方程f(ρ，θ)＝0，再化简并检验特殊点．2．极坐标方程涉及的是长度与角度，因此列方程的实质是解直角或斜三角形．3．极坐标方程应用时多化为直角坐标方程，注意方程的等价性．返回点击此图进入