平面向量基本定理公开课用

平面向量基本定理必修系列数学4f－fGPABADACABBCAC（1）小明从A到B，再从B到C，则他两次的位移之和是：ABCD三角形法则平行四边形法则首尾相接，由首至尾共起点连对角复习:共线向量基本定理：向量与向量共线当且仅当有唯一一个实数使得(0)aabab(2)证明三点共线的问题:定理的应用:(1)有关向量共线问题:////CDABCDABCDABCDAB直线直线不在同一直线上与(3)证明两直线平行的问题:)0(三点共线、、CBABCBCAB2011年11月3日1时43分，神舟八号与天宫一号第一次交会对接圆满成功，中国成为世界第三个独立掌握无人和载人空间对接技术的国家。承担“神舟八号”飞船和“天宫一号”目标飞行器发射任务的是“长征二号F”运载火箭。vv1v2v21vvv依照速度的分解，平面内任一向量a可作怎样的分解呢？平行四边形法则给定平面内两个不共线的向量e1,e2,可表示平面内任一向量a吗？1e2ea21eea1e2ea1e2eOCABMNOCOMON如图111OMOAe1122OCee1122+aee即222ONOBea1e2ea给定平面内两个不共线的向量e1,e2,可表示该平面内任一向量a吗？1e2eOCABMNaOCOMON如图111OMOAe1122OCee1122+aee即222ONOBe1e2ea给定平面内两个不共线的向量e1,e2,可表示该平面内任一向量a吗？？来表示呢任意一个向量都可以用后，是否平面内，确定一对不共线向量221121eeee想一想⑴1e2e1e2e12.aee当与或共线时aa1220aee1120aee⑵？怎样构造平行四边形况时，的位置如下图两种情改变aa1e2eAOCBNMOa1e2eCABNM112212(0,0)aee112212(0,0)aee（3）1e2eaAOBNMC112212(0,0)aee再改变成如下情况，怎样构造平行四边形？取,021使22110ee1e若a与共线，则02使2211eea若,0a)(2e),0(11e2eaa重要结论若02211ee则,021（１）平面向量基本定理存在性唯一性存在如果是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面的任意向量一对实数，使,1e,2e,a,2,12211eea有且只有思考：上述表达式中的2,1是否唯一？（2）基底：把不共线的向量叫做这一平面内,1e2e所有向量的一组基底．一个平面向量用一组基底(3)正交分解：,1e,2e表示成：2211eea称它为向量的分解．当互相垂直时，称为向量的正交分解．,1e,2e一维直线平面向量基本定理1122a=eea=e二维平面思想有多远，就能走多远！重要结论若02211ee则,0212、基底不唯一，关键是不共线.4、基底给定时，分解形式唯一.说明：1、把不共线的非零向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.12,ee3、由定理可将任一向量在给出基底的条件下进行分解.12,eea练习：下列说法是否正确？1.在平面内只有一对基底.2.在平面内有无数对基底.3.零向量不可作为基底.4.平面内不共线的任意一对向量,都可作为基底.×√√√（1）一个平面内，可作为基底的向量有对。无数(1)(3)MABCDMDMBMAMCbabADaABBDACABCD和、、表示、，试用基底　，相交于点和的对角线、如图，平行四边形例,M1baADABAC解：因为平行四边形的对角线互相平分baACMC212121baMCMA2121baADABDBMB2121)(2121abMBMD2121ab例1１2１１１222例3.　设ｅ，ｅ是平面内的一组基底，如果AB=3ｅ-2ｅ,BC=4ｅ+ｅ,CD=8ｅ-9ｅ,求证：A,B,D三点共线。CDBCABAD证明：)98()4()23(212121eeeeee211015ee)23(521eeAB5.共线与ABAD.,,三点共线，所以有公共的起点与又DBAAABADABCD例2能作为基底的是则下面的四组向量中不的一组基底，是表示平面内所有向量，、若211ee；和；和；和；和212122112212121)4(33)3(6423)2()1(eeeeeeeeeeeeeee(2)ADACABBCDABC表示向量的中点，则用是中，、已知,2ABCD.,,,,,3PQbababDAaBCBDACABCDQP表示向量试用基底不是共线向量，并且的中点，与的对角线分别是四边形、设BQPDCAbaPQbaCBADPQBQCBPCPQDQADPAPQ21212解法一：.,,,,,3PQbababDAaBCBDACABCDQP表示向量试用基底不是共线向量，并且的中点，与的对角线分别是四边形、设BQPDCAE练习请大家在图中确一组基底，将其它向量用这组基底表示出来．ANMCDB已知梯形ABCD，AB//CD，且AB=2DC，M、N分别是DC，AB的中点．ANMCDB解析：设AB=e1，AD=e2，则有：DC=AB=e11212BC=BD+DC=(AD-AB)+DC=(e2-e1)+e1=-e1+e21212MN=DN-DM=(AN-AD)-DC12=e1-e2-e11214=e1-e214二、向量的夹角:OABba两个非零向量，ab和的夹角．ab夹角的范围：180OABab90OABab注意:同起点(0180)AOB叫做向量0OABab例2:如图，等边三角形中，求(1)AB与AC的夹角；(2)AB与BC的夹角。ABC60'C0120注意:同起点AB.1,nmOBnOAmOPABPBAO且则上，在直线若点三点不共线，、、已知OP.,),R(,,OPOBOAtABtAPOBOA表示用且不共线、如图.3例一个重要结论OBtOAtOP)1(结论：你发现了什么？三、平面向量的坐标表示思考？在平面里直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（它的坐标）表示。对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？2.2.3平面向量的正交分解及坐标表示.向量的正交分解物理背景:三、平面向量的坐标表示yOxaixjy+axiyj我们把(x,y)叫做向量的(直角)坐标，记作a(,)axy其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，(x,y)叫做向量的坐标表示.aa正交单位基底jii,j为单位向量OxyAijaxy+axiyj+OAxiyj当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.坐标(x,y)一一对应两个向量相等，利用坐标如何表示？2121yyxxba且向量a三、平面向量的坐标表示.,并求出它们的坐标、、、分别表示向量，如图，用基底dcbajijiAAAAa3221解：(2,3)a)3,2(32jib)3,2(32jic)3,2(32jidjyxOicaA1AA2Bbd例：数量看投影符号看方向2.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算1.已知a，b，求a+b，a-b，λa),(11yx),(22yx解：a+b=(i+j)+(i+j)1x1y2x2y=（+)i+（+)j1x2x1y2y即),(2121yyxxa+b同理可得a-b),(2121yyxx两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差2.3.3平面向量的坐标运算2．已知．求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyO解：OAOBAB),(),(2211yxyx),(1212yyxx一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标．),(yxa则若),(yxa思考1.两个向量共线的条件是什么?2.如何用坐标表示两个共线向量?.),,(),,(2211abyxbyxa其中设推导过程：.),,(),,(2211abyxbyxa其中设推导过程：),(),(2211yxyxba得：由.),,(),,(2211abyxbyxa其中设推导过程：,2121yyxx),(),(2211yxyxba得：由.),,(),,(2211abyxbyxa其中设推导过程：,2121yyxx),(),(2211yxyxba得：由.01221yxyx：消去.),,(),,(2211abyxbyxa其中设0)0(//1221yxyxbba的充要条件是：推导过程：,2121yyxx),(),(2211yxyxba得：由.01221yxyx：消去探究：?.1时能不能两式相除消去?.22211xyxy能不能写成?.3向量共线有哪两种形式探究：?.1时能不能两式相除消去?.22211xyxy能不能写成?.3向量共线有哪两种形式.0,,00,2221中至少有一个不为，有可能为不能两式相除，yxbyy探究：?.1时能不能两式相除消去?.22211xyxy能不能写成?.3向量共线有哪两种形式.0,,21有可能为不能xx.0,,00,2221中至少有一个不为，有可能为不能两式相除，yxbyy探究：?.1时能不能两式相除消去?.22211xyxy能不能写成?.3向量共线有哪两种形式)0(//bbaba.0,,21有可能为不能xx.0,,00,2221中至少有一个不为，有可能为不能两式相除，yxbyy探究：?.1时能不能两式相除消去?.22211xyxy能不能写成?.3向量共线有哪两种形式)0(//bbaba.01221yxyx.0,,21有可能为不能xx.0,,00,2221中至少有一个不为，有可能为不能两式相除，yxbyy讲解范例.,//),,6(),2,4(ybayba求且已知.1例例2.已知A(1,1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.讲解范例2.3.3平面向量的坐标运算例2．已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，a-b，3a+4b的坐标．解：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）2.3.3平面向量的坐标运算例3．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．解：设顶点D的坐标为（x，y）），（）），（　211321(AB)4,3(yxDC，得由DCAB)4,3()2,1(yxyx4231　　　22yx），的坐标为（　顶点22D小结1.平面向量基本定理:2.向量的夹角:3.平面向量的坐标表示:4.一个重要结论:2211eea(0180)+axiyj,1.,,OPmOAnOBmnABP若且则三点共线.5.平面向量的坐标运算谢谢大家