奥数：方阵问题

教学内容:第十一讲方阵问题在日常生活中,我们经常见到把人或物排成正方形的形状,比如用花盆摆成正方形,同学们要参加运动会入场式,要进行队列操练,解放军排着整齐的方队接受检阅等,无论是训练或接受检阅,都要按一定的规则排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学问题,在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题。掌握这类问题的解题规律,可以提高我们的解题能力,培养思维的灵活性。今天我们将共同研究和分析这类问题。士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,恰好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。在摆放的方阵中如果是实心的,我们叫它中实方阵;如果这个方阵是空心的,我们叫它中空方阵。观察中实方阵,我们不难发现方阵的基本特点:①方阵的每行物体个数与每列物体个数相等。②去掉横竖各一排时,有且只有1个物体是同时属于被减去的一行和一列。③如果把最外圈形成的正方形叫第一层,再向里一圈叫第二层的话,会发现相邻的这两个正方形每边个数相差为2,相邻两层相差总个数为8。④每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1⑤中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数观察中空方阵,我们不难发现方阵的基本特点:中空方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数-中空方阵的层数)×中空方阵的层数×4下面我们就利用以上特点进例1参加军训的学生进行队列表演,他们排成了一个七行七列的正方形队列,如果去掉一行一列,请问:要去掉多少名学生?还剩下多少名学生?分析与解答:如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列,从图中可以看出正方形队列的特点:(1)正方形队列每行、每列的人数相等,因此总人数=每行人数×每列人数。(2)去掉横竖各一排时,有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的,如图中点A所示。因此去掉的总人数=原每行人数×2-1,或去掉的总人数=减少后每行人数×2+1。本题中所求,即去掉的人数=7×2-1=13(人)或去掉的人数=(7-1)×2+1=13(人)还剩的人数=(7-1)×(7-1)=36(人)或还剩的人数=7×7-13=49-13=36(人)答:如果去掉一行一列,要去掉13名学生,还剩下36名学生。例2小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵,最外层每边摆6枚,请问:要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子?最外一层的棋子总数是多少?分析与解答:如图,最外一层每边摆6枚,根据方阵每行每列个数相等特点,因此一共有6×6=36枚棋子。最外一层每边有6枚,如果用6×4=24枚,就认为是最外一层棋子数的答案的话,那就错了。因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列,这样棋子在计算总数时就被多数了一次,这样的顶点一共有4个,需要把多数的减去,才能得到正确的结果。列式是6×4-4=20枚。说明:这道题还可以这样想:数每边棋子时,可以按上图先划分成4个相等的块,这样每边就有5枚了,因此用5×4=20枚,也可以得到正确答案。按照划分块的方法不同,至少还有两种方法,请同学们试一试。例3有一队士兵排成一个中实方阵,最外一层有100人,请问:方阵中一共有士兵多少人?分析与解答:要想求出方阵中一共有多少士兵,就应先求出方阵的最外层每边有多少人。已知方阵最外一层有100人,用100÷4=25人,每边是不是25人呢?不是的,因为平均分成4份后,还需要再加上1,才正好是每边上的人数,列式应该为100÷4+1=26人。因此方阵中一共有26×26=676人。答:一共有676人。说明:这道题关键是求出每边人数。在求每边人数时,不要认为和“知道了正方形周长,求边长”一样,还必须要加上1。例4若干名同学排成中实方阵则多12人,若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵则还差9人排满,请问:原有学生多少人?分析与解:由于纵横两个方向各增加1人,因此不但将剩余12人摆上,而且还差9人,说明一横行与一竖行的人数总和是12+9=21人。又由于纵横两个方向各增加1人,因此只有1人同属于横行与纵行,在数每边上的人数时,总被多数一次,因此可以用21人先加上被重复数过的1人,再除以2,也就得到每边人数。列式为(21+1)÷2=11人。求出每边人数,就可求出假设排满后的人数,列式为11×11=121人,用121人减去差的9人就是原来人数,列式为121-9=112人。也可以根据原来的方阵再加上12,请你试一试。答:原有学生112人。前四个例题涉及的都是实心方阵问题。下面我们来研究中空方阵问题。例5游行队伍中,手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵,最外边一层每边12人,请问:彩车周围的少先队员共有多少人?分析与解答1:请同学们自己画一个图,下图是一个三层中空方阵的示意图,不难发现,有如下特点:(1)外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多2;(2)每相邻两层之间,点的总数相差8个。最外层队员的总数:12×4-4=44(人)三层共有队员的总数:44+(44-8)+(44-8×2)=44+36+28=108(人)分析与解答2:如下图可分成相等的四部分,每一部分的人数:(12-3)×3=9×3=27(人)三层共有队员数:27×4=108(人)答:彩车周围的少先队员共有108人。这个问题还有别的解法,请同学们自己试着做一下。例6小明用围棋子摆了一个五层中空方阵,一共用了200枚棋子,请问:最外边一层每边有多少枚棋子?分析与解答1:利用“相邻两层之间,每层的总数相差8”的特点,可知最外层共有棋子数:(200+8+8×2+8×3+8×4)÷5=56(个)最外层每边的棋子数:56÷4+1=15(个)分析与解答2:如例5的图,把棋子分成相等的四部分。每一部分的棋子数:200÷4=50(个)每一部分每排的棋子数:50÷5=10(个)最外层每边的棋子数:10+5=15(个)综合列式为:200÷4÷5+5=15(个)答:最外边一层每边有15枚棋子。阅读材料牛顿是英国一位伟大的数学家和科学家,他是个早产儿,从小就体弱多病,不能像同年龄的孩子在外面跑跑跳跳。只能躲在室内。不过,聪明的他却有一套玩耍的方法;他制造了一种利用老鼠磨面粉的机械玩具水车,把小麦磨成雪白的面粉,还做了有灯光的风筝吓唬村民。牛顿最有名的一段小故事,就是因为苹果落下,而发现万有引力,为什么苹果会落下?小朋友你想过这个问题吗?这是因为地心引力,所以有重量,苹果才落下。喔牛顿很喜欢想问题,也喜欢看书,最后成为伟大的科学家和数学家哩练习题1.实验小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演,由于服装不够,只好横竖各减少一排,这样共需去掉27人,请问:四年级原来准备多少人参加表演?分析与解答:此题刚好是例1的逆向思考问题。根据正方形队列的特点,可知原每行人数=(去掉一行一列的人数+1)÷2即:原来每行人数:(27+1)÷2=14(人)原来准备参加表演的人数:14×14=196(人)答:四年级原准备196人参加表演。2.一队学生站成20行20列方阵,如果去掉4行4列,那么要减少多少人?分析与解答1:把去掉4行4列转化为一行一列的去掉,就可用例6的结论:去掉一行一列的总人数=原每行人数×2-1反复利用4次这个公式,只要注意“原每行人数”的变化,即可列式为:去掉4行4列的总人数=20×2-1+(20-1)×2-1+(20-2)×2-1+(20-3)×2-1=40-1=38-1+36-1+34-1=144(人)分析与解答2:我们还可以这样想:原来是一个7行7列的方阵,若去掉4行4列后,仍剩下一个小正方形方阵,因此去掉4行4列的总人数=原正方形方阵每边人数-4,即去掉的总人数=20×20-(20-4)×(20-4)=400-256=144(人)答:去掉4行4列,要减少144人。3.正方形舞厅四周均匀的装彩灯,如果四个角都装一盏且每边装12盏,那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏?分析与解1:自己画图可以看出,角上的四盏灯各属于两行,所以彩灯总数应为:12×4-4=44(盏)分析与解2:还可以把彩灯分成相等的四部分,因此彩灯总数为:(12-1)×4=44(盏)答:这个舞厅四周共装彩灯44盏。4.“六一”儿童节前夕,在校园雕塑的周围,用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵,请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆?分析与解答:分析思路参见例6,最外层每边人数=总数÷4÷层数+层数204÷4÷3+3=20(盆)答:最外面一层每边有鲜花20盆5.四年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,请问:方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?分析:根据四周人数与每边人数的关系可知:每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了。解答:(1)方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6(人)(2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人)答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。6.明明用围棋子摆成一个三层中空方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子?分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个中空方阵共用棋子多少个。解答:(1)最里层一周棋子的个数是:(15-2-2-1)×4=40(个)(2)这个空心方阵共用的棋子数是:(15-3)×3×4=144(个)答:这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个中空方阵共用144个棋子。7.若干战士排成一个四层中空方阵,只知道最外一层每边有12人,请你求出总人数。分析与解:我们可以采用先求出每层人数再求总人数的方法进行解答:由于最外层每边有12人,因此最外层一共有(12-1)×4=44人,又根据方阵相邻两层,外层比内层人数多8的特点,因此第二层有44-8=36人,第三层有36-8=28人,第四层有28-8=20人。因此一共有44+36+28+20=128人。还可以这样想,把四层中空方阵划分如例5的形状,我们发现每个长方形可以看成四排战士,每排有8人组成。因此一个长方形有8×4=32人,一共有4个长方形,32×4=128人。当然还可以先把中空方阵看成中实方阵,然后再减去补上的小中实方阵人数,也可以求出一共有多少人,看成中实方阵后,最外一层每边12人,因此一共有12×12=144人。又因为在方阵中相邻两个正方形每边人数相差2,因此第二层每边有12-2=10人,第三层每边有10-2=8人,第四层每边有8-2=6人,第五层每边有6-2=4人。因此小的中实方阵有4×4=16人。144-6=128人就表示一共有战士的人数。答:一共有128人。8.有若干盆鲜花摆成一个中空方阵,最外层共摆48盆,最内层共摆24盆,请问:共摆了多少盆鲜花?分析与解答:由于方阵中相邻两个正方形每边相差8,因此第二层应摆鲜花48-8=40盆,第三层有花40-8=32盆,第四层有花32-8=24盆。这样通过枚举方法求出一共有四层花,及中间两层花的总数。因此一共摆了48+40+32+24=144盆。答:一共摆了144盆。9.五年级学生分成两队参加学校广播操比赛,他们排成甲、乙两个中实方阵,其中甲方阵每边的人数等于8,如果把两队合并,可以另排成一个中空的丙方阵,丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人,甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心,请问:五年级参加广播操比赛的一共有多少名学生?分析:若只排列一个乙方阵,则多余的人数为(即甲方阵的人数)8×8=64(人),排列一个实心的丙方阵,不足的人数是:8×8=64(人)。假设丙方阵为实心方阵,则乙多的人数是:8×8+8×8=128(人),又根据方阵扩展一层,每边增加2人,丙方阵丙实心方阵比乙方阵的外边多4人,说明丙方阵多于乙方阵的层数是4÷2=2(层),方阵扩展2层,需要增加1