黎曼曲率张量截面曲率-中国科学技术大学

2017中科大纯粹数学前沿课程现代微分几何之旅报告人：张希中国科学技术大学数学科学学院报告提纲从欧氏几何到非欧几何古典微分几何与现代微分几何黎曼几何简介几何中的典则度量报告提纲从欧氏几何到非欧几何古典微分几何与现代微分几何黎曼几何简介几何中的典则度量Euclid几何讲到几何不得不讲Euclid几何，它基于Euclid（公元前三百年）的著作《几何原本》。书中较完整地收集了古希腊时期的数学成果，并加以系统化。这部著作具有无与伦比的历史意义，两千多年来我们一直在学习！几何原本《几何原本》共十三章。一到四章讲直线和圆的性质；第五章比例论；第六章相似形；第七、八、九章讲数论；第十章是不可公度量的分类；第十一、十二、十三章讲立体几何和穷竭法。穷竭法，比如圆可被内接多边形穷竭，这是微积分中极限理论的起源！Euclid几何的公设和公理Euclid列出五个公设和五个公理，他采用Aristotle对公设与公理的区别，即公理适用于一切科学的真理，而公设只应用于几何。公设（公理略）从任一点到任一点可作直线；直线段可不断延长；以任一点为中心和任一距离为半径可作一圆；所有直角彼此相等；一直线与两直线相交，且同侧所交两内角和小于两直角和，则两直线必相交于该侧一点。《几何原本》的优缺点优点组织严密，由简及繁；论证严格，被数学家看成典范。缺点采用重合法，默认图形从一处移动到另一处所有性质保持不变，这是没有逻辑依据的；点、线、面的定义没有明确的数学含义；不自觉作出的假定中，包括直线和圆的连续性的假定。解析几何在Euclid完成他的著作《几何原本》差不多2000年后，两位欧洲数学家Fermat和Descartes又一次对几何的发展起了巨大的推进作用。Fermat和Descartes在16、17世纪，代数还是一门新兴科学，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位，几何与代数是数学中两个不同的研究领域。Fermat代数学上做了很多贡献并将其用于曲线的研究，如利用二次方程研究圆锥曲线。当然Fermat在求最大最小值方面也有很多贡献（微积分中，你们肯定会学到Fermat的定理）。Fermat和DescartesDescartes站在方法论的自然哲学的高度，认为希腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象力。对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。代数与几何的结合Fermat和Descartes通过建立坐标系使几何对象和代数对象建立联系，如：点可看成数对，线和面则可看做满足一次方程（组）的数对的全体。这样他们可用代数方法研究几何问题，他们所创立的科目叫做坐标几何或解析几何。解析几何的基本思想解析几何的中心思想是将代数方程与曲线和曲面等联系起来。通过建立坐标系（直角）讲几何对象代数化（解析过程），再通过代数运算来得到几何结论。我们在学习中会接触直角坐标系，内积，外积等概念，并对二次曲线和曲面进行分类，并了解那些在空间等距变换中不变的量（即几何量）。对高次曲面和曲线的研究则发展为代数几何学。非欧几何在19世纪前，人们普遍认为Euclid几何是物理空间和此空间中图形性质的正确理想化。Newton的物理学理论也是建立在Euclid几何这一数学基础之上的。几乎所有科学家都信奉Euclid几何为绝对真理，认为物质世界是Euclid式的。只有DavidHume在《人性论》中指出科学是纯经验性的，Euclid几何的定律未必是物理的真理。平行公理的研究平行公理（即前面公设五）缺乏像其它公理那种说服力，人们一直努力用更为自明的命题来代替平行公理，或试图用Euclid的其它公理来推导平行公理。非欧几何的历史就开始于数学家努力消除对Euclid平行公理的怀疑。非欧几何非欧几何学中两个重要人物是Gauss和Lobatchevsky（19世纪）。Gauss很早就意识到要证明Euclid平行公理的努力是白费的，他已经掌握能够存在一种逻辑几何的思想，在其中Euclid几何平行公理不成立。Gauss在曲面的微分几何研究中，提出将曲面本身看做一个空间，把测地线当做曲面上的“直线”，则几何是非Euclid的。球面几何和双曲几何把球面本身看做一个空间，“直线”或是测地线是其上的大圆弧，很容易证明其上三角形内角和大于两个直角和。单叶双曲面（花瓶的瓶颈部分）上，测地线三角形的内角和小于两个直角和。微分几何观点就是Gauss曲率为负的曲面。Lobatchevsky几何Lobatchevsky把Euclid的平行公设改为：过直线外一点至少可引两条直线与其平行。Lobatchevsky导出三角形内角和小于两直角和，并且是变化的。Poincare几何模型将单位圆盘看做一个空间（非欧平面），边界上的点看做无穷远点，圆盘内的点则作为非欧平面点，“直线”则是与单位圆盘边界正交的圆弧。微分几何的观点则是圆盘上附上第一基本形式（度量）222211dvduvuI非欧几何的意义非欧几何是19世纪最具有启发性的数学发现，虽然当时受到了大部分数学家的忽视和嘲弄。欧氏平行公理是独立的命题，可采用与之矛盾的公理并发展全新的几何。使人们意识到Euclid几何并非是物质空间的必然，Einstein相对论支撑了这一观点，现代物理学发展使人们认识到非欧几何的重要性。报告提纲从欧氏几何到非欧几何古典微分几何与现代微分几何黎曼几何简介几何中的典则度量古典微分几何古典微分几何研究三维欧氏空间中的曲线和曲面现代微分几何则研究更一般的空间---流形微分几何与拓扑学、分析学、偏微分方程等其它数学分支有着紧密联系。同时对物理学的发展也有着重要影响，例如：爱因斯坦的广义相对论就是以微分几何中的黎曼几何为其重要数学基础，Yang-Mills理论对应于向量丛的联络理论。曲面理论曲面（片）可看作到三维欧氏空间的双参数、光滑、正则的映射。（参数选取可不同）曲面上的任何一点，构成三维欧氏空间的标架。（切平面、法线与参数选取无关）3:,RDvuvuvu,,第一基本形式由欧氏内积，我们可得下面二次微分形式（曲面的第一基本形式）：dvdudvdudsIvvuvvuuu,2第二基本形式记单位法向量为则曲面的第二基本形式：其反映了曲面的形状！dvdunnnndvdudndIIvvvuuvuu,vuvun法曲率，Gauss曲率曲面沿非零切向量的法曲率定义为：其上W为切空间上的Weingarten变换，它是一个自共轭变换，因而有两个实特征值称为曲面在该点的主曲率。两主曲率的平均值称为平均曲率，两主曲率之积称为曲面的Gauss曲率。,,,WIIIkn21,kkGauss美妙定理曲面的Gauss曲率仅与第一基本形式有关。上面是由德国数学家高斯证明的，也即Gauss曲率是个内蕴量。高斯抓住了微分几何中最重要的概念和根本性的内容，建立了曲面的内蕴几何学，随后德国数学家黎曼（Riemann）将高斯的理论推广到高维空间，这就是黎曼几何学的诞生。Gauss工作的意义Gauss的工作告诉人们可以忘掉曲面位于三位欧氏空间的事实，只要给定第一基本形式（度量）曲面的所有几何性质都能从它导出。给定度量后，我们可以计算曲面上曲线的长度，测地线则是连接两点的最短曲线，它相当于欧氏空间中的直线（段），通常曲面的几何就是非欧的。Gauss工作的意义Gauss证明了一条关于曲率的著名定理：对于由测地线构成的三角形，成立321dAKAGauss-Bonnet公式对于三维欧氏空间中的闭曲面，成立2dAK报告提纲从欧氏几何到非欧几何古典微分几何与现代微分几何黎曼几何简介几何中的典则度量黎曼几何黎曼几何研究具有黎曼度量的微分流形，是现代微分几何研究的核心。我们讲在此节中简略回顾黎曼几何中的基本概念和经典理论。拓扑流形与坐标图定义1.1.设是一个Hausdorff拓扑空间,若对每一点都有的一个领域与的一个开集同胚,则称为维拓扑流形.设MMppUnRMnnUUUR)(:))(,),((qxqxqn1是上述定义中的一个同胚映射,其中为上的实值函数,称为第个坐标函数，称为的坐标图,也称坐标卡或坐标领域.ixUi),(UUM微分结构定义1.2.设是一个维的拓扑流形。Mn(1)的一个坐标图开覆盖M}|),{(MUU为指标集,称为一个坐标图册。(2)若中，对任何当时,,,ØUU)()(:UUUU1nnxxxx~,,~,,11为映射.即,为的,则称为坐标图册.kC),,(~nixxx1kCkC(3)若为最大的坐标图册，即对于的任意坐标图当它与的坐标图相容时,它也一定属于那么,称为上的一个的微分结构.中的坐标图称为的容许坐标图.kCM),,(VVMkCM微分流形定义1.3.设是一个维的拓扑流形,为上的一个微分结构，则称为维流形.一个可微流形称为光滑流形.可微流形称为称为解析流形.MnMkC),(MnkCCC例1.是一个维解析流形.nRn例2.中的单位球面1nR})(|),,{(1112111niinnnxRxxS为维(实)解析流形。n例3.若分别为维微分流形，则为维微分流形,称为和的积流形.NM,nm,kCNMnmkCMN例4.若为维微分流形,为的开子集,则为维微分流形,称为的开子流形.MnkCUMUnM向量丛定义2.1.设是两个光滑流形.是光滑的满射,是维向量空间.如果存在的开覆盖及一组映射使得下列条件成立：ME,ME:nVRnM}{U}{(1)对任意的以及一同胚映射使得其中MUp,)(:1nUUR,P.:UUPnR(2)对任意的有其中转移函数满足：,ØUU)),(,(),(vfxvx12)(:nnGLUUfRR(a)id;ff.fff则称为一光滑向量丛.),,(ME定义2.2.设为一光滑向量丛,它的一个截面即为一个映射使得),,(ME,:EM.idM(b)纤维丛理论纤维丛的理论，是1946年由美国的斯丁路特、美籍华人陈省身、法国的艾勒斯曼共同提出的。数学上，特别是在拓扑学中，一个纤维丛(fibrebundle)是一个局部看来像两个空间的直积（特指笛卡尔积）的空间，但是整体可以有与直积空间不同的拓扑结构。最简单的非平凡例子：莫比乌斯带，克莱因瓶。Yang-Mills理论Yang-Mills理论是由杨振宁与Mills上世纪五十年代引入,它是非阿贝尔变换群下的规范场论,是Maxwell电磁理论的推广。Yang-Mills理论与纤维丛理论上世纪七十年代，数学中纤维丛理论和规范场论的关系已被沟通，明确了规范场就是联络，场强就是曲率，Yang-Mills方程则是Yang-Mills泛函的Euler-Lagrange方程。作为Yang-Mills理论的数学基础，至今Yang-Mills方程解的存在性还没有彻底弄清除，以及Yang-Mills理论中的“质量间隙”（massgap）也没有很好的数学解释。这也被Clay数学研究所列为七大世界数学难题之一。例1.设为维光滑流形，为在点的切空间，记在上引入拓扑和微分结构，可使其成为维流形，定义,即则为一向量丛，称为的切丛。切丛和余切丛MnM)(MTpp}|)({)()(MpMTXMTMTppMpp)(MTCn2CMMT)(:pXp)(),),((MMTM例2.的对偶空间称为在点的余切空间,用表示,的元素称为余切向量.对}|)(