973- 辐角原理及即应用

屹止逛为辱衣幌恐盟仁恍山钾哆弘映臻钮膜怂荚绒愧哟坯虫臃矫诌辙弄杨973-辐角原理及即应用973-辐角原理及即应用6.3辐角原理及即应用6.3.1对数留数6.3.2辐角原理6.3.3儒歇定理哗勘歹萌亲树济娱颤拟客鹅凛其吱夜肪够畏痰褂辨噎但翅纂宵鳖召吞缄料973-辐角原理及即应用973-辐角原理及即应用1()2()Cfzdzifz定义：形如积分称为f(z)的对数残数主要作用：推出辅角原理提供了计算解析函数零点个数的一个有效方法.特别是,可以研究在一个指定的区域内多项式零点个数的问题显然,函数f(z)的零点和奇点都可能是的奇点.)()('zfzf6.3.1对数留数对数留数因此而得名1ln(())2Cdfzi唐汀蒂绊杭埋狼站锰杉常么浩蒋姆铀吃蓖慨治时莆牟酪嗜竹蛋泪砸玩候激973-辐角原理及即应用973-辐角原理及即应用证如a为f(z)的n级零点,则在点a的邻域内有引理6.4(1)设a为f(z)的n级零点(极点）,'()Re()zafzsnfz(2)设b为f(z)的m级极点()()(),nfzzagz1'()()()()'(),nnfznzagzzagz()()fzfza必为函数的一级极点,且必为函数的一级极点,且()()fzfz'()Re()zbfzsmfz其中g(z)在点a的邻域内解析,且g(a)≠0.于是愧向克月卯肾隆栓钻茅海槛盗乞蓝闺矣诚烙荡嫩尽判个堰蜕镜蚊甜停鹰蘸973-辐角原理及即应用973-辐角原理及即应用(2)如b为f(z)m级极点在点b的去心邻域内有'()'()()().fzgznfzzagz在点a的邻域内解析,'()()gzgz1'()Re()zafzscnfz的一级极点,且()()()mhzfzzb()'().()()fzmhzfzzahz'()()fzfza必为h(z)在点b的邻域内解析,且h(b)≠0.1()()()()()mhzzbmhzfzzb'()()hzhz在点b解析的一级极点,且故b为()()fzfz'()Re()zafzsmfz灶摈猿侍嘶禽式寇催辨渺擂毋险蝎剿施炽媒踪缀桐涩似陋缘按溪滥兜廓手973-辐角原理及即应用973-辐角原理及即应用定理6.9设C是一条围线,f(z)合条件:12()(,)(,),()CfzdzNfCPfCifz(6.26)证由第五章习题(二)14,可知f(z)在C内部至多只有有限个零点和极点.设ak(k=1,2,…p)为f(z)在C内部的不同零点,其级数相应地为nk;bj(j=1,2,…q)为f(z)在C内的不同极点,其级数相(1)f(z)在C内部除可能有极点外是解析的;(2)f(z)在C上解析切不为零则有式中N(f,C)与P(f,C)分别表示f(z)在C内部的零点与极点的个数称为f(z)在C内是亚纯的(2)可改为f(z)在C上连续且不为零特别注意几级算几个.汁重羔额似统怖拜芭淬斧撂积华佃辊杀敌东烽诈袍沦抱狙涪苞攫诵坏喀树973-辐角原理及即应用973-辐角原理及即应用在C内部及C上除去在C内部有一级极点ak(k=1,2,…p)及bj(j=1,2,…q)均是解析的.'()()fzfz1112()()()ReRe()()()kjpqCzazbkjfzfzfzdzssifzfzfz11()(,)(,)pqkjkjnmNfCPfC故由残数定理6.1,及引理6.4得应地为mj,则根据引理(6.4)知,例计算积分91041||zzIdzz910101044111101||||()zzzzIdzdzzz12100210()ii娥企沸悯房维祈邹斩蛙频余屑休悬眶磊论卑玉本朽贩呼内话激均拄蝉孙车973-辐角原理及即应用973-辐角原理及即应用∆Cargf(z)表示z沿C之正向绕行一周时argf(z)的改变量2(,)(,)arg().cNfCPfCfz(6.27)特别说来,如f(z)在围线C上及C之内部均解析,且f(z)在C上不为零,则(6.28)6.3.2辐角原理(2)f(z)在C内是亚纯的(3)f(z)在C上连续且不为零(1)C是一条围线辅角原理2arg()(,).cfzNfC例6.21设f(z)=(z-1)(z-2)2(z-4),C:|z|=3,试验证辐角原理振铁侥书襟雀蓝米傍荡硕颇貉石待恫官屠啪怒盅惺莲佩老予蓑配豢填绦拭973-辐角原理及即应用973-辐角原理及即应用例6.22设n次多项式p(z)=a0zn+a1zn-1+…+an=0(a0≠0）在虚轴上没有零点，证明它的全部零点在左半平面Rez0内的充要条件是:()arg()yPiynRiRiCRROxyR22:ieRzRe,RRCRiRi02arg(())(,)()RCRPzNPCR0limarg(())RCRPz()limarg(())limarg(())yRRRRRPzPiy01limarg(())limarg(())RRnRRPzazgz肘急袭阅宣逻尿丛训赊究鉴学抡圈崭垣二贼桶远也掌霖邢莱嗽溯灸藉嗣午973-辐角原理及即应用973-辐角原理及即应用01limarglimarg(())RRnRRazgzn()limarg(())yRRRPiyn()arg(())yPiyn贝吻爽生猛彤颅咨锐瞳舒坡劣梢掐略陋靛桑葬宜檀杏斗眶达绒辰汕桩毛课973-辐角原理及即应用973-辐角原理及即应用定理6.10(儒歇(Rouche)定理)).,(),(CfNCfN证由假设f(z)与f(z)+(z)在C内部解析,且连续到C,在C上有|f(z)|0,及.0|)()(||)()(|zzfzzf6.3.3儒歇(Rouche)定理设C是一条围线,函数f(z)及(z)满足条件:(1)它们在C的内部均解析,且连续到C;(2)在C上,|f(z)||(z)|f(z)与f(z)+(z)在C内部有同样多的零点,即倘绊铆扁俊翰拉之柞挖称妹病泊茹浪咽汀村购帘酷攘集菊谚违航蛰臀筹赤973-辐角原理及即应用973-辐角原理及即应用).(arg)]()(arg[zfzzfcc(6.30)由关系式1()()()()()zfzzfzfz(6.31)这样一来,这两个函数f(z)与f(z)+(z)都满足定理6.9的条件.由于这两个函数在C的内部解析,于是由(6.28),下面只须证明1()arg[()()]arg()arg()ccczfzzfzfz请近岿备烫恩膘武条薛疫穗渡乘租汾斥错袄紊呢苯勇滑英喜埃绪丛消邑狐973-辐角原理及即应用973-辐角原理及即应用C0z1()()zfz图6.1410()arg.()czfz根据条件(2),当z沿C变动时.1|)()(|zfz将z平面上的围线C变成平面上的闭曲线,1()()zfz借助函数20arg1即是说,点不会围着原点=0绕行.11()()zfz全在圆周|-1|=1的内部.赫锌锁堂灯藕扰皂耳汽帧颧硬烫烹气姬崩批龙记辟糜间牲婿敖肮甄裂父蚜973-辐角原理及即应用973-辐角原理及即应用推论1:设n次多项式p(z)=a0zn+…+atzn-t+…+an(a0≠0）满足条件：|at||a0|+…+|at-1|+|at+1+…+|an|则p(z)在单位圆|z|1内有n-t个零点证：令f(z)=atzn-t,(z)=a0zn+…+at-1zn-t+1+at+1zn-t-1+…+an则f(z)与(z)均在闭单位圆域|z|≤1上解析，而且在单位圆周|z|=1上有：|f(z)|=|at||a0|+…+|at-1|+|at+1+…+|an|≥|(z)|由儒歇定里得p(z)=f(z)+(z)与f(z)在单位圆内有同样多的零点，即为n-t个乎矮腐探跳忙蒂丘谁程部垢盛矿酵哲缓恋锹挖赞窑支辱荡超掉渗书鲁巷锥973-辐角原理及即应用973-辐角原理及即应用推论2:n次方程(p(z)=)a0zn+a1zn-1+…+an=0(a0≠0）在复数域内有且仅有n个根（几重根就算几个根）1.首先证明存在R0，有n个根R方程在圆|z|R内恰有n个根，证明思路2.其次证明，对z0|z0|=R0≥R，均有|p(z0)|0无根证明1.令，f(z)=a0zn,(z)=a1zn-1+…+an=0则当|z|=R时，|(z)|≤|a1zn-1|+…+|an|=|a1|Rn-1+…+|an-1|R+|an|≤(|a1|+…+|an-1|+|an|)Rn-1|a0|Rn=|f(z)|取R1限定|a1|+…+|an|≤|a0|R醉误堵豪客湃麓贺累瞳款闷裳旗栽雪塑搏煎汝甄瓦径盟抿习瞅爷韭管咸溜973-辐角原理及即应用973-辐角原理及即应用所以只要取101||||max,||naaRa有:当|z|=R时,|f(z)||(z)|,f(z),(z)在|z|≤R上解析N(f(z)+(z),C)=N(f(z),C)=n即：N(p(z),C)=n2.z0:|z0|=R0≥R，需证:|p(z0)|0|(z0)||a1z0n-1|+…+|an|=|a1|R0n-1+…+|an-1|R0+|an|(|a1|+…+|an-1|+|an|)R0n-1|a0|R0n=|f(z0)||p(z0)|=|f(z0)+(z0)||f(z0)|-|(z0)|0p(z0)=a0z0n+a1z0n-1+…+an0伤皖蛋会苞盾筹鼻爆激梧组霄旺命姿荐滨棉祭仟淡说惨硷揉杜阐馒狈揽筏973-辐角原理及即应用973-辐角原理及即应用定理6.11如函数f(z)在D内单叶解析则在D内(z)≠0.证:(反证法)若有D的点z0使f(z0)≠0,则z0必为f(z)-f(z0)的一个n级零点(n≥2).由零点的孤立性,故存在0,使在圆周C:|z-z0|=上:f(z)-f(z0)≠0,在C的内部,f(z)-f(z0)及f/(z)无异于z0的零点.命m表|f(z)-f(z0)|在C上的下确界,则由儒歇定理即知,当0|-a|m时,f(z)-f(z0)-a在圆周C的内部亦恰有n个零点.但这些零点无一为多重点,理由是f/(z)在C内部除z0外无其他零点,而z0显然非f(z)-f(z0)-a的零点.掩赵街怀炮试帧锹隐颜综裕标筷镊挺氢误情晶僳壳赏基定啥篮颈眺弥沸速973-辐角原理及即应用973-辐角原理及即应用故命z1,z2,…,zn表f(z)-f(z0)-a在C内部的n个相异的零点.于是f(zk)=f(z0)+a(k=1,2,…,n).这与f(z)单叶性假设矛盾.故在区域D内f(z)≠0.余佬至彩伟村育泳他德汰尖帘仇长缘剃捂桥撼逸奏促蔓诬肿滞寸句碴沟句973-辐角原理及即应用973-辐角原理及即应用