矩形波导

第2章规则金属波导2-3通常将由金属材料制成的、矩形截面的、内充空气介质的规则金属波导称为矩形波导,它是微波技术中最常用的传输系统之一。由于矩形波导不仅具有结构简单、机械强度大的优点，而且由于它是封闭结构，可以避免外界干扰和辐射损耗；因为它无内导体，所以导体损耗低，而功率容量大。在目前大中功率的微波系统中常采用矩形波导作为传输线和构成微波元器件。第2章规则金属波导第2章规则金属波导设矩形波导的宽边尺寸为a,窄边尺寸为b,并建立如下图所示的坐标。第2章规则金属波导一、求解波动方程根据上节分析结论，导行波分布函数方程：0),(),(22yxEKyxEct这里采用直角坐标系：0),(),(22yxHKyxHct(2.1-29)(2.1-31)22222yxt0),(),(22yxEKyxEZcZt0),(),(22yxHKyxHZcZt（2.2-15)（2.2-16)纵向分量波动方程为：第2章规则金属波导022222zczzEKyExE022222zczzHKyHxH纵向分量求解：纵向分量波动方程可写为：采用分离变量法：（2.3-5)（2.3-6))()(yYxXEZ代入2.3-5：2cKYYXX上式成立必须满足（Kx、Ky为横向截止波数）：22222cyxyxKKKKYYKXX其中：第2章规则金属波导0022YKYXKXyx得到：（2.3-10)（2.3-11)通解为：)sin()cos()sin()cos(4321yKCyKCYxKCxKCXyyxx（2.3-12)（2.3-13))cos()cos(yyxxyKBYxKAX或：（2.3-14)（2.3-15)至此，可以得到：zjyyxxzzjyyxxzeyKxKHHeyKxKEE)cos()cos()cos()cos(00（2.3-16)（2.3-17)第2章规则金属波导(一)TM（1）场分量的表示式此时Hz=0,Ez≠0,且满足二、矩形波导中的场由上节分析可知,矩形金属波导中只能存在TE波和TM波。下面分别来讨论这两种情况下场的分布。zjyyxxzeyKxKEE)cos()cos(0根据边界条件（波导管壁内表面电场切向分量为零）求解上式中待定常数：bnKEbyEyamKEaxExyzyzxzxz02000200第2章规则金属波导zjzeybnxamEE)sin()sin(0则有：ztctztctEKjEEzjKH221根据上节得到TM模横向场表达式：在直角坐标系下：xEyyExKjExEyyExKjHzzctzzct22第2章规则金属波导TM波的全部场分量表示式为：zjcxeybnxamEamKjE)sin()cos(02zjcyeybnxamEbnKjE)cos()sin(02zjzeybnxamEE)sin()sin(0zjcxeybnxamEbnKjwH)cos()sin(02zjcyeybnxamEamKjwH)sin()cos(020zH第2章规则金属波导其中：22222bnamKKKyxcKc为矩形波导TM波的截止波数,显然它与波导尺寸、传输波型有关。m和n分别代表TM波沿x方向和y方向分布的半波个数,一组m、n对应一种TM波,称作TMmn模（Emn模）；但m或n均不能为零,否则场分量全部为零。因此，矩形波导中不能存在TMm0模、TM0n模和TM00模；TM11模是最低次模（截止波长最长或截止频率最低）,其余称为高次模。第2章规则金属波导①存在无穷多个波型与m、n对应，其线性组合（叠加）也是场解。每一对（m、n）对应一种波型，记为TMmn。截止波数：②对于TM波，m、n中任意一个不能为0，否则场全为0。所以TM00、TM0n、TMm0不存在。最低波型为TM11。③TM波型的场沿z轴为行波，沿x、y轴为纯驻波分布（正弦、余弦的分布规律）。m场量沿x轴[0,a]出现的半周期（半个纯驻波）的数目；n场量沿y轴[0,b]出现的半周期的数目。④j相位关系Ey－Hx、Ex－Hyz轴有功率传输Ez－Hx、Ez－Hyx、y轴无功率传输所以行波状态下，沿波导纵向（z轴）传输有功功率、横向（x、y轴）无功功率。22cmnKab＝小结：第2章规则金属波导2)场结构为了能形象和直观的了解场的分布（场结构），可以利用电力线和磁力线来描绘它。电力线和磁力线遵循的规律：力线上某点的切线方向该点处场的方向力线的疏密程度场的强弱电力线发自正电荷、止于负电荷，也可以环绕着交变磁场构成闭合曲线，电力线之间不能相交。在波导壁的内表面（假设为理想导体）电场的切向分量为零，只有法向分量（垂直分量），即在波导内壁处电力线垂直边壁。磁力线总是闭合曲线，或者围绕载流导体，或者围绕交变电场而闭合，磁力线之间不能相交，在波导壁的内表面上只能存在磁场的切向分量，法向分量为零。电力线与磁力线相互正交。第2章规则金属波导（2）场结构TM11模场结构图第2章规则金属波导TM21模场结构图第2章规则金属波导(二)TE（1）场分量的表示式此时Ez=0,Hz≠0,且满足zjyyxxzeyKxKHH)cos()cos(0根据边界条件（波导管壁内表面磁场法向分量为零）求解上式中待定常数：bnKHbyHyamKHaxHxyyyyxxxx00000000zjzeybnxamHH)cos()cos(0则有：第2章规则金属波导TE波的全部场分量表示式为：zjcxeybnxambnHKjE)sin()cos(02zjcyeybnxamamHKjE)cos()sin(020zEzjcxeybnxamamHKjH)cos()sin(02zjcyeybnxambnHKjH)sin()cos(02zjzeybnxamHH)cos()cos(0第2章规则金属波导式中,为矩形波导TE波的截止波数,它与波导尺寸、传输波型有关。m和n分别代表TE波沿x方向和y方向分布的半波个数,一组m、n,对应一种TE波,称作TEmn模;但m和n不能同时为零,否则场分量全部为零。因此，矩形波导能够存在TEm0模和TE0n模及TEmn(m,n≠0)模;其中TE10模是最低次模（主模）,其余称为高次模。22bnamKcTE10场分量表示式为：zjyexaHajE)sin(0zjxexaHajH)sin(0zjzexaHH)cos(0第2章规则金属波导上式中m、n分别代表TE波沿x方向和y方向分布的半波个数;每一对（m，n）对应一种波型，记为TEmn（Hmn）;对于TE波，m、n中任意一个可以为0，但是不能同时为0;所以能够存在TEm0、TE0n、TEmn;矩形波导中TE波的最低次波型(截止波长最长或截止频率最低）为TE10（ab），其余称为高次模；场沿z轴为行波，x、y轴为纯驻波分布；式中的j表示相位关系：表达式相差j，表示时间上相差1/4周期，相位相差π/2，空间上相差1/4波导波长。22222cxymnKKKab＝＝22cmnKab＝与波导尺寸、传输波型有关小结：第2章规则金属波导例如：Ex和Hy的表达式均含j，表示两者同相，构成了沿z轴正方向传播的行波（坡印廷定理），即沿z轴有功率传输；－Ey和Hx也同相，也构成了沿z轴正方向传播的行波；Ex和Hz之间以及－Ey和Hz之间，表达式都相差了一个j，即相位相差π/2，由于其坡印廷矢量方向为x轴和y轴方向，所以沿x轴和y轴无有功功率的传输，电磁场呈纯驻波分布状态。综上所述，在行波状态下，沿矩形波导的纵向（z轴）传输的是有功功率，而在矩形波导的横向（x和y轴）只存在无功功率，即没有功率的传输。第2章规则金属波导（2）场结构TE10模场结构图第2章规则金属波导TE20模场结构图第2章规则金属波导TE02模场结构图第2章规则金属波导TE11模场结构图第2章规则金属波导TE21模场结构图第2章规则金属波导三、矩形波导的传输特性1)截止波数、截止波长、由前述分析，矩形波导TEmn和TMmn模的截止波数均为22bnamKcmn对应截止波长和截止频率为ccmncTMcTEbnamKmnmn22)/()/(2222)/()/(21nbamvfcc＝第2章规则金属波导TMmn和TEmn波型的相移常数、波导波长表示式相同，为：2)(122cg其中λ为工作波长。2）波导波长和相移常数2)(1cpgfv在导行波中截止波长λc最长的导行模称为该导波系统的主模,波导能够进行主模的单模传输。第2章规则金属波导对均不为零的m和n,TEmn和TMmn模具有相同的截止波长和λc截止波数Kc，Kc和λc相同但波型不同称为简并模,虽然它们场分布不同,但具有相同的传输特性。TE0n和TEm0是非简并模；其余的TEmn和TMmn都存在简并模:若a=b，则TEmn、TEnm、TMmn和TMnm是简并模；若a=2b，则TE01与TE20，TE02和TE40，TE50、TE32和TM32是简并模。Kc和λc是波导横截面尺寸和波型的函数。当工作波长λ小于某个模的截止波长λc时,β2＞0,此模可在波导中传输,故称为传导模;当工作波长λ大于某个模的截止波长λc时,β2＜0,即此模在波导中不能传输,称为截止模。一个模能否在波导中传输取决于波导结构和工作频率（或波长）。下图给出了标准波导BJ-32各模式截止波长分布图。第2章规则金属波导图BJ-32波导各模式截止波长分布图第2章规则金属波导波型截止波长λc截止频率fcTE10主模2av/2aTE20高次模av/aTE302a/33v/2aTE012bv/2bTE02bv/bTE11TM11TE12TM122)/(1/2baa2)/2(1/2baa2)/(12baav2)/2(12baav第2章规则金属波导[例]设某矩形波导的尺寸为a=8cm,b=4cm;试求工作频率在3GHz时该波导能传输的模式。第2章规则金属波导)(1.0mfc)(16.0210macTE)(08.0201mbcTE)(0715.022211mbaacTM可见，该波导在工作频率为3GHz时只能传输TE10模。[例]设某矩形波导的尺寸为a=8cm,b=4cm;试求工作频率在3GHz时该波导能传输的模式。解:由f=3GHz，得第2章规则金属波导3）相速和群速TMmn和TEmn波型的相速和群速表示式相同：2)/(1cpvv21cgvv－4）波型阻抗TMmn和TEmn波型阻抗为：gcTEZ211gcTMZ21第2章规则金属波导5）尺寸选择——矩形波导的工作波型图基于前面的定义，根据波导横截面尺寸、工作波长、截止波长之间关系，构成矩形波导工作波型图。根据不同要求，可利用波型图对波导的横截面尺寸和波导波长作出选择。22)/()/(2bnamc已知传播条件为：整理得到临界线（其上的点即截止波长）方程为：1222222nbma第2章规则金属波导TE10H01H10H20EH31EH21H02H03H30EH11EH1