三元一次方程组的解法

博林辅导-1-三元一次方程组的解法(1)、三元一次方程的概念三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。(2)、三元一次方程组的概念一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。(3)、三元一次方程组的解法（1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。（2）三元一次方程组解题的基本步骤：①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。一、三元一次方程组之特殊型例1：解方程组③②①yxzyxzyx4225212分析：方程③是关于x的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x”的目标。解法1：代入法，消x.把③分别代入①、②得⑤④2256125zyzy解得2,2.yz把y=2代入③，得x=8.∴8,2,2.xyz是原方程组的解.根据方程组的特点，归纳出此类方程组为：类型一：有表达式，用代入法型.针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一博林辅导-2-次方程组的目的。解法2：消z.①×5得5x+5y+5z=60④④-②得4x+3y=38⑤由③、⑤得⑤③38344yxyx解得8,2.xy把x=8,y=2代入①得z=2.∴8,2,2.xyz是原方程组的解.根据方程组的特点，归纳出此类方程组为：类型二：缺某元，消某元型.解方程275322344yxxyzxz例2：解方程组③②①172162152zyxzyxzyx分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。解：由①+②+③得4x+4y+4z=48，即x+y+z=12.④①-④得x=3，②-④得y=4，③-④得z=5，∴3,4,5.xyz是原方程组的解.根据方程组的特点，归纳出此类方程组为：类型三：轮换方程组，求和作差型.博林辅导-3-解方程组20,19,21.xyyzxz①②③123xyyzzx例3：解方程组②①21327:2:1::zyxzyx分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x；由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即2,7,2321.yxzxxyz①②③，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求解。解法1：由①得y=2x，z=7x，并代入②，得x=1.把x=1，代入y=2x，得y=2；把x=1，代入z=7x，得z=7.∴1,2,7.xyz是原方程组的解.分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程①x:y:z=1：2：7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。解法2：由①设x=k,y=2k,z=7k，并代入②，得k=1.把k=1，代入x=k，得x=1；把k=1，代入y=2k，得y=2；把k=1，代入z=7k，得z=7.∴1,2,7.xyz是原方程组的解.根据方程组的特点，归纳出此类方程组为：类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型.解方程组③②①4:5:2:3:111zyxyzyx::1:2:32315xyzxyz二、三元一次方程组之一般型博林辅导-4-例4：解方程组34,6,2312.xyzxyzxyz①②③分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出：（一）消元的选择1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元；2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。（二）方程式的选择采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。解：③②①1232643zyxzyxzyx（明确消z，并在方程组中体现出来——画线）①+③得5x+2y=16，④(体现第一次使用在①③后做记号√)②+③得3x+4y=18，⑤(体现第二次使用在②③后做不同记号△)由④、⑤得5216,3418.xyxy④⑤解得2,3.xy把x=2，y=3代人②，得z=1.∴2,3,1.xyz是原方程组的解.解方程组2439,32511,56713.xyzxyzxyz①②③2439325115680xyzxyzxyz三、三元一次方程组的相关变式题型例五、解方程组13423103292zyxzyxzyx博林辅导-5-解：原方程组可化为)3(3423)2(1032)1(92zyxzyxzyx由（1）+（3），得634zx（4）由（1）+（2）2，得2975zx（5）由（4）和（5）组成方程组，得)5(2975)4(634zxzx解这个方程组，得23zx把2,3zx代入（1），得9223y∴2y∴223zyx是原方程组的解例六、已知0432zyx，0543zyx，求zyxzyx的值。解：由题意，得)2(0543)1(0432zyxzyx解这个方程组，得zyzx2231当zx31，zy22时，13252822312231zzzzzzzyxzyx∴所求代数式的值为132例七已知方程组)3(4)2(5)1(3axzazyayx的解使代数式zyx32的值等于10，求a的值。解：（2）－（1），得axz2（4）（3）+（4），得azaz3,62把az3代入（2）和（3），得axay,2∴azayax32，把azayax3,2,代入zyx32，得103322aaa∴35a∴所求a的值为35例八甲、乙两同学解方程组1022ycxbyax，已知甲的正确解答是42yx，乙由于看错了c，求出博林辅导-6-的解是5.63yx，则求cba,,的值。解：把42yx代入原方程组，得10422242cba∴1c由5.63yx满足2byax，得25.63ba和（1）组成方程组，得)2(25.63)1(242baba解得25ba∴125cba∴所求cba,,的值分别为1,2,5规律总结：解三元一次方程组，除了要考虑好选择哪种方法和决定消去哪一个未知数之外，关键的一步是由三“元”化为二“元”，特别注意两次消元过程中，方程组中每个方程至少要用到1次，并且(1)，(2)，(3)3个方程中先由哪两个方程消某一个未知数，再由哪两个方程（一个是用过的）仍然消这个未知数，防止第一次消去y，第二次消去z或x，仍然得到三元一次方程组，没有达到消“元”的目的。解下列方程组491232137544xyyzxz3743225xyyzxz491731518232xzxyzxyz76710020320xyzxyzxyz3232443210xyzxyzxyz26363127343411xyzxyzxyz在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的，需要进一步的观察，但是只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就可以以不变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。四、三元一次方程组的实际应用例一:某车间有60人，生产甲乙丙三种零件，每人每小时能生产甲24个，或乙20个，或丙16个，现用零件甲9个，乙15个，丙12个，装配成某机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件恰好成套？共有多少套？博林辅导-7-解：设生产甲、乙、丙三种零件各有x人，y人，z人.根据题意得x+y+z=6024x/9=20y/15=16z/12解得x=12,y=24,z=2424×12/9=32答：安排生产甲、乙、丙三种零件各有12人，24人，24人，共有32套.例二:甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2（二分之一），求这三个数。解:设甲是x，乙是y，丙是z则x+y+z=35(1)甲数的2倍比乙数大52x-y=5(2)乙数的1/3（三分之一）等于丙数的1/2y/3=z/2(3)由(2)和(3)得到y=2x-5,z=2y/3=(4x-10)/3代入(1)x+2x-5+4x/3-10/3=3513x/3=130/3x=10y=2x-2=15z=2y/3=10所以甲是10，乙是15，丙是10。