三元一次方程组的解法和应用

个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司1学生：科目：数学教师：第阶段第次课2013年月日课题：三元一次方程组解法及应用一、学习内容熟练掌握三元一次方程组解法。会应用三元一次方程组解答实际问题。二、例题分析[例1]解方程组说明：解三元一次方程，可以先消去一个未知数化为二元一次方程来解，即三元转化二元转化一元，因此代入消元、加减消元法均可运用。[例2]提示：三元一次方程组的解法也可以设法将三元二元一元。[例3]：提示：两方程组有相同的解是指存在一对x、y的值，使两个方程组中的每两个方程左边和右边的值相等，这x、y的值就是方程组的解.解：解方程组①-④得6y=12∴y=2把y=2代入④得x=-1把x=-1,y=2代入②③，得3×(-1)+2a-13=0解得a=8b=0说明：此题是利用待定系数法求解a、b值是二元一次方程组的一个简单应用[例4]个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司2提示：这个方程组中的方程①是一个等比式，这就决定了这个方程的特殊性采取特殊的解法，设，那么x=2k,y=3k,z=5k，然后都代入②解出k求解x，y，z。解设那么x=2k,y=3k,z=5k③将③代入②得2k+3k+5k=20，10k=20，k=2将k=2代入③得到原方程组的解[例5]提示：可采用先例数，再裂项，再换元的方法。说明：本例关键是对自方程组取倒数和裂项，取倒数法是一种常用的解题方法，是一种非常巧妙的逆向思维方法。例6:、乙、丙三数之和为26，甲数比乙数大1，甲数的2倍与丙数的和比乙数大18，求甲、乙、丙三个数．答案：设甲、乙、丙三个数分别为x、y、z。依题意得个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司3261218xyzxyxzy解得1097xyz答：甲、乙、丙三个数分别为10、9、7。例7某选择题共有10小题，评分标准如下：选对得4分，选错倒扣2分，不选得0分，已知小王选择题的得分是28分，且选对的题数是选错题数的4倍，问小王选对、选错、不选的各有几题．答案：设小王选对、选错、不选的题分别为x题、y题、z题。依题意得1042284xyzxyxy解得820xyz答：小王选对、选错、不选的题分别为8题、2题、0题。例8某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排各工序里的人数？答案：设在第一道工序、第二道工序、第一道工序的人数分别为x人、y人、z人。依题意得63300500600xyzxyz解得301815xyz答：在第一道工序、第二道工序、第一道工序的人数分别为30人、18人、15人。例9、有1角、5角、1元的三种硬币15枚，共7元，你能知道这三种硬币各有多少枚吗？答案：设1角、5角、1元的三种硬币分别为x枚、y枚、z枚。依题意得150.10.57xyzxyz①②①-②，得0.9x+0.5y=8.即8059yx。因为x、y都是正整数，所以x=5，y=7，代入①得z=3，所以573xyz答：1角、5角、1元的三种硬币分别为5枚、7枚、3枚。个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司4例10、某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了4380朵．分析：题中有两个等量关系：甲种盆景所用红花的朵数+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=2900朵，甲种盆景所用紫花的朵数+丙种盆景所用紫花的朵数=3750朵．据此可列出方程组，设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆，用含x的代数式分别表示y、z，即可求出黄花一共用的朵数．解：设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆．由题意，有{15x+10y+10z=2900①25x+25z=3750②，由①得，3x+2y+2z=580③，由②得，x+z=150④，把④代入③，得x+2y=280，∴2y=280-x⑤，由④得z=150-x⑥．∴4x+2y+3z=4x+（280-x）+3（150-x）=730，∴黄花一共用了：24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380．故黄花一共用了4380朵．例11、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果．A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1.2元，C水果价格每千克10元．某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为150元．分析：设甲种搭配、乙种搭配、丙种搭配分别销售了x个、y个、z个．根据该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，可以列方程组，根据题意，只需整体求得y+z的值即可．个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司5解：设甲种搭配、乙种搭配、丙种搭配分别销售了x个、y个、z个．根据题意，得{8.8x+25.6y+21.2z=441.24x+6y+4z=116，第一个方程减去第二个方程的2.2倍，得12.4y+12.4z=186，即y+z=15，10y+10z=150．故答案为：150．点评：此题能够根据等量关系正确列方程组，然后运用加减法整体求得y+z的值即可．例12、某工程由甲、乙两队合作6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合作10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合作5天，完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元．（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则解方程组，得∴101530xyz（2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付给b元，丙队做一天应付给c元，则有解方程组，得800650300abc∵10a=8000（元），15b=9750（元），个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司6∴由甲队单独完成此工程花钱最少．答：（1）甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做30天完成，（2）由甲队单独完成此工程花钱最少．三、学生对于本次课的评价：○特别满意○满意○一般○差学生签字：四、教师评定：1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差教师签字：教研组签字：教务处签字：教务处盖章个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司7练习方程组：1．356422352344xyzxyzxyz①②③2．2533210xyzxyz①②3．小明是一个昆虫爱好者，一天，他捕捉了蜘蛛、蜻蜓、蝉一共18只，他仔细观察后发现，蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，他数了数，他们一共有118条腿和20对翅膀，你能确定小明捕捉了多少只蜘蛛，多少只蜻蜓，多少只蝉吗？4．（2011重庆）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成．乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成．丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了几朵．5．汽车在相距70千米的甲、乙两地往返行驶，由于行驶中有一个坡度均匀的小山，所以去时用时2小时30分，返回时用时2小时18分，已知汽车在平地上每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，上坡时每小时行驶20千米，求去时上坡路、下坡路及平的路程．6．有甲、乙、丙三种货物，若购甲4件、乙5件、丙1件，共需230元；若购甲7件、乙9件、丙1件，共需385元，问甲、乙、丙三种货物各购一件共需多少元？个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司87．下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润，某汽车公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到外地销售（每量汽车按规定满载，每车只能装同一种蔬菜，每种蔬菜不少于1车），应该如何安排，可使公司获得利润18300元？甲乙丙每辆汽车能装的吨数211．5每吨蔬菜可获得利润（百元）5748．某校对高三年级275名学生户外活动和健康达标情况进行了调查，结果是：第一种数学平均每天参加户外活动1h以上，第二种学生平均每天参加户外活动0.5h到1h之间，这两种学生人数均为100人，其余为第三种学生，平均每天参加户外活动的时间不够0.5h，第一种学生的健康达标人数比后两种学生的健康达标人数的和少4人，第二种学生的健康达标人数比第三种学生的健康达标人数多34人，该年级因视力、身高、体重、患病而未达到健康标准的共有91人，问三种学生的健康达标人数分别是多少？达标率各为多少？9．用A、B、C三种金属制成甲、乙、丙三种合金，其质量比在甲合金为2：1：1，在乙合金中为1：2：5，在丙合金中为1：3：2，已知三种合金共用A种金属5.5千克，B种金属8千克，C种金属9.5千克，问甲、乙、丙三种合金各重多少千克？