弹簧的弹簧刚度系数分别为k1

第2章单自由度系统的振动主讲贾启芬MechanicalandStructuralVibration工程振动与测试目录MechanicalandStructuralVibration2.1无阻尼系统的自由振动2.2计算固有频率的能量法2.3瑞利法2.4有阻尼系统的衰减振动2.5简谐激励作用下的受迫振动2.6周期激励作用下的受迫振动2.7任意激励作用下的受迫振动2.8响应谱第2章单自由度系统的振动2.1无阻尼系统的自由振动MechanicalandStructuralVibration第2章单自由度系统的振动关于单自由度系统振动的概念典型的单自由度系统:弹簧-质量系统梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧-质量系统MechanicalandStructuralVibration第2章单自由度系统的振动自由振动方程)(ddst22xkmgtxm当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微分方程为0dd222xptxn其中mkpn取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件，得到stkmg无阻尼自由振动微分方程弹簧的静变形固有圆频率MechanicalandStructuralVibration2.1无阻尼系统的自由振动其通解为：tpCtpCxnnsincos2101xCtppvtpxxnnnsincos00npvC02其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时，可解00vvxx，MechanicalandStructuralVibration自由振动方程2.1无阻尼系统的自由振动)sin(tpAxn)(arctg)(002020vxppvxAnn两种形式描述的物块振动，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。另一种形式无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动初相位角振幅MechanicalandStructuralVibration自由振动方程2.1无阻尼系统的自由振动振幅、初相位和频率系统振动的周期kmpTnπ2π2系统振动的频率mkpTfnπ21π21系统振动的圆频率为fpnπ2圆频率pn是物块在自由振动中每2秒内振动的次数。f、pn只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量m有关，而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f称为固有频率，圆频率pn称为固有圆频率。MechanicalandStructuralVibration2.1无阻尼系统的自由振动用弹簧静变形量st表示固有圆频率的计算公式物块静平衡位置时stkmgmkpn固有圆频率stgpnstmgkMechanicalandStructuralVibration振幅、初相位和频率2.1无阻尼系统的自由振动等效刚度系数单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程0ddeq22eq＝qktqm等效的概念这一方程，可以等效为广义坐标的形式0dd22＝kxtxm加的力或力矩。需要在这一坐标方向施位移，广义坐标方向产生单位－等效刚度：使系统在eqk向施加的力或力矩。度，需要在这一坐标方加速广义坐标方向产生单位－等效质量：使系统在eqmMechanicalandStructuralVibration2.1无阻尼系统的自由振动0ddeq22eq＝qktqm0dd22＝qptqntpCtpCqnncoscos21＝tpAqnsin＝－初始速度。－初始广义坐标；－振动的位相；振动的振幅；－系统的固有频率；＝0000n2020eqeqarctanvqqqppvqAmkpnn等效的概念MechanicalandStructuralVibration等效刚度系数2.1无阻尼系统的自由振动串联弹簧与并联弹簧的等效刚度例在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。振动过程中，物块始终作平行移动。处于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是st，而弹性力分别是st11kFst22kF系统平衡方程是0xFst2121)(kkFFmgMechanicalandStructuralVibration等效刚度系数2.1无阻尼系统的自由振动如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则stkmg21kkkst2121)(kkFFmgk称为并联弹簧的等效刚度系数。并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。系统的固有频率mkkmkf21π21π21MechanicalandStructuralVibration等效刚度系数2.1无阻尼系统的自由振动（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。当物块在静平衡位置时，它的静位移st等于每根弹簧的静变形之和，即st=1st+2st由于每根弹簧所受的拉力都等于重力mg，故它们的静变形分别为1st1kmg2st2kmg如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于kmgstMechanicalandStructuralVibration等效刚度系数2.1无阻尼系统的自由振动如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于kmgst21111kkkkkkkk1212k称为串联弹簧的等效刚度系数1st1kmg2st2kmg串联后的弹簧刚度系数的倒数等于各串联弹簧刚度系数倒数的算术和)(π21π212121kkmkkmkfMechanicalandStructuralVibration等效刚度系数2.1无阻尼系统的自由振动组合弹簧的等效刚度例质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自由振动频率。解：将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则，折算到质量所在处。先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。CMechanicalandStructuralVibration等效刚度系数2.1无阻尼系统的自由振动先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。C设在C处作用一力F，按静力平衡的关系，作用在B处的力为bFa此力使B弹簧k2产生变形，222bkFabac而此变形使C点发生的变形为得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数222abkFkcMechanicalandStructuralVibration等效刚度系数2.1无阻尼系统的自由振动C222abkFkc物块的自由振动频率为)(221221kbkamkkbmkpn与弹簧k1串联221222122212221kbkabkkabkkabkkk得系统的等效刚度系数MechanicalandStructuralVibration等效刚度系数2.1无阻尼系统的自由振动弹性梁的等效刚度例一个质量为m的物块从h的高处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。stπ21gf解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧—质量系统。如果知道系统的静变形则求出系统的固有频率stMechanicalandStructuralVibration等效刚度系数2.1无阻尼系统的自由振动由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点静挠度为EImgl483st求出系统的固有频率为348π21mlEIfMechanicalandStructuralVibration等效刚度系数2.1无阻尼系统的自由振动以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，并以撞击时刻为零瞬时，则t=0时，有st0xghv20自由振动的振幅为st2st20202)(hpvxAn)9611(48233stst2ststmaxmglEIhEImglhA梁的最大挠度MechanicalandStructuralVibration等效刚度系数2.1无阻尼系统的自由振动扭转振动等效系统内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转中常常产生扭转振动，简称扭振。扭振系统称为扭摆。OA为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为IO。在研究扭摆的运动规律时，假定OA的质量略去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径线和该线的静止位置之间的夹角来决定，称扭角。圆轴的抗扭刚度系数为kn，表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。MechanicalandStructuralVibration2.1无阻尼系统的自由振动根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程nOktI22dd扭振的运动规律tpptpnnnsincos00对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振动规律、特征是完全相同的。0dd222nptOnnIkp固有圆频率MechanicalandStructuralVibration扭转振动2.1无阻尼系统的自由振动图(a)所示为扭振系统两个轴并联的情况；图(b)为两轴串联的情况；图(c)则为进一步简化的等效系统。2121nnnnnkkkkk并联轴系的等效刚度系数21nnnkkk串联轴系的等效刚度系数MechanicalandStructuralVibration扭转振动2.1无阻尼系统的自由振动