初等数学研究

《初等数学研究》华东师大数学系李俊[e-mail]数学楼207室答疑时间周四9:40－11:30•数学教学的目的是什么？•数学是什么？•中小学数学教师与数学家在专业知识上的区别是什么？请尝试回答•自然数有定义吗？是建立在公理基础上的吗？加法、乘法是否也有定义？•数学的相容性被证明了吗？•自然对数怎么提出的，我怎么感觉不到以e为底的对数“自然”？•数学中有很多规定，比如除数不能为0、负负得正、复数无大小关系，为什么要有这些规定，规定的内容合理吗？•怎么让学生接受虚数？要是学生说“给我拿i粒糖”，我怎么回答？请继续尝试回答•一厂家为推销其产品，在其每一份产品中都夹入一张明星的照片。假设厂家一共选择了三位明星，每份产品夹入哪位明星的照片是等可能的，问平均要买多少份该产品才能集齐一套明星照？•样本具有随机性，用它来估计总体可靠吗？•关于正态分布学了很多，那么收集来一些数据我怎么知道它是否符合正态分布呢？再请回答•可以用尺规等分圆周吗？（2，3，4，5，……？）•多边形有相似关系，抛物线之间有吗？•异面直线的距离为什么这么定义？它与平行直线的距离定义相通吗？本课程的安排内容：代数、概率统计、几何•中学课堂里不便说的但老师需要了解的，如用极大似然估计法估计池塘里鱼的数量•一些内容的来源，如自然数理论•一些内容的不同处理途径，如概率的求法•一些新课程要加强的内容，如几何变换Polya（波利亚）的话“许多人用多种方式陈述了学习必须是主动的，不仅仅是被动或可接受的；仅仅是读书或听讲或看电影而不加入自己思考的作用，则你就很难学到什么，并且肯定不会学到很多东西。另有一种经常被提到（且密切相关）的见解：学习的最好的方法是靠自己去发现。Lichtenberg……则增添了有趣的一点：你被迫自己去发现的东西在你头脑中留下一条道路，当需要时你就可以再次利用。”教材与参考书目•张奠宙、张广祥主编：《中学代数研究》，高等教育出版社•张奠宙、沈文选主编：《中学几何研究》，高等教育出版社•F.克莱因著，舒湘芹、陈义章译：《高观点下的初等数学》，湖北教育出版社•余元希、田万海、毛宏德：《初等代数研究》，高等教育出版社•朱德祥：《初等几何研究》，高等教育出版社•茆诗松、魏振军《随机世界探秘――概率统计初步》，上海教育出版社第一章：自然数的基数理论与序数理论第一节人类认识和表达自然数的历史第二节自然数的基数理论和序数理论第三节数学归纳法•人类认识和表达自然数的历史•学校课程中是如何安排数的学习的•自然数的基数理论和序数理论–怎样定义自然数–怎样定义自然数的大小关系–怎样定义自然数的加法和乘法–自然数运算的性质数、十进制、位值制•中国数字春秋时期创造了算筹计数法，表示数目一到九的算筹有纵横两种形式：纵式横式在表示多位数时，顺序是从右向左，一纵一横，遇有零数则空着不放筹325107应摆成算盘•罗马数字每个符号与它所在的位置无关XLCDMXXIII十五十一百五百一千二十三两个罗马数字相加，须先合并再化简•希腊数字数字↔单词JKLMNPSTXZ&XPE102030405070100200600800900675代数学•在代数学的早期历史上，中国有不少成果–《九章算术》有正负数加减法则，正系数的二次方程的数值解法–唐初有正系数的三次方程的数值解法–宋有高次多项式方程的一般数值解法–金、元提出了根据应用问题条件列方程解方程的天元术–元给出了高阶等差级数论和多元联立方程组解法语言优势中小学数的教学安排•第一学段（1-3年级）：认识万以内的数、小数、简单的分数和常见的量•第二学段（4-6年级）：认识亿以内的数，了解分数、百分数、负数的意义、字母表示数•第三学段（7-9年级）：认识有理数、实数•高中文、理选修：数系扩充与复数教学风格：直观、环环相扣、应用数系的扩展•数的历史发展（添加法）–自然数添正分数－正有理数添零－非负有理数添负数－有理数添无理数－实数添虚数－复数实际上是交错发展的•数的理论架构（逻辑构造法）–有了自然数集，可以构造整数集（自然数对）可以构造有理数集可以构造实数集可以构造复数集……自然数的两种作用•计数（有几个）自然数的康托尔基数理论•排序（第几个）自然数的皮亚诺序数理论自然数的基数定义•怎样定义自然数？–“表示物体个数的一种数”？–物体：集合（具有某种属性的一些对象组成的一个整体）–个数：基数（等价集合在数量上所具有的共同特征）非空有限集的基数叫做自然数，所有等价于的集合的基数，用符号“1”表示，即1＝“5”是什么？五只羊的集合、{a,b,c,d,e}等都是等价的集合，这类集合的基数就是5定义自然数的大小关系集合间的包含关系两个自然数：ab非空有限集的基数大小关系的定义•如果非空有限集A、B的基数分别是a、b，A’、B’分别是A、B的真子集，那么–当A～B时，就说a＝b–当A～B’B时，就说ab–当AA’～B时，就说ab自然数大小关系的性质•定理：自然数的相等关系具有反身性、对称性、传递性；•自然数的顺序关系具有全序性、对逆性、传递性证明等价关系、集合的性质2)对任何a，b，cN，若a＜b，b＜c，则a＜c非空定义自然数的加法和乘法不交的集合的并并集的基数a+b=c非空有限集的基数b个两两不交的等价集合的并并集的基数a×b=c自然数的加法和乘法定义•如果非空有限集A、B的基数分别是a、b，且那么a+b=c•设Ai（i＝1，2，…，b）是b个两两不交的等价集合，它们的基数都是a，且那么，a·b=c因为b1,所以补充规定a·1=aab是b个a之和，乘数，被乘数，乘以,,ABABcIU1,biiAc证明时可用11个运算定律（1）加法有五个基本定律：1．a+b仍然为一个数，即正数加正数总是可能的2．a+b是单值的3．结合律成立：(a+b)+c＝a+(b+c)因此完全可以脱去括号4.交换律成立:a+b＝b+a5.单调律成立:若abacbc证明70+14=70+(10+4)=(70+10)+4=80+4＝8411个运算定律（2）乘法有六个基本定律：1．a·b仍然为一个数2．a·b是单值的．3．结合律：a·(b·c)＝(a·b)·c=a·b·c4．交换律：a·b＝b·a5.单调性定律：若a＞c，则a·b＞b·c6．分配律:a·(b+c)＝a·b+a·c证明紧扣定义借用集合的运算律7×12=7·(10+2)＝70+14证明排序：自然数的序数理论•该理论是从自然数列构成的特点中抽象出来的–只有一个数不跟随任何其他的数，它就是1–在每一个数的后面都紧跟着唯一的一个数–除了1以外，每一个数都有唯一的一个先行的数–没有两个相等的数自然数的序数定义（皮亚诺定义）•如果有一个集合N，在它的元素间有一个基本关系“后继”（用符号＋或’表示），并满足下列公理，那么这个集合N的元素叫做自然数：“5”是什么？是满足上述五条公理的一个集合的元素，排在1后面后面后面的后面定义自然数的加法和乘法•加数是1还是某一个自然数b的后继•自然数×1还是自然数×某一个自然数b的后继1()aaabab1aaababa2＋2－2+1－后继2×2－2×1为什么2＋3＝5？2123,2221(21)342322(22)45Q为什么2×3＝6？212,22212122242322222426Q证明自然数的乘法交换律•用基数理论证明•用序数理论证明–设使ab＝ba成立的所有a组成的集合为M，•1M•假定aM，则a＋M，即a＋b＝ba＋–所以M＝N左右是等价的集合a×b=b×ab个两两不交的基数为a的集合的并集a个两两不交的基数为b的集合的并集定义自然数的大小关系•“相等”在自然数定义中已经说明–若a＋与b＋相同，则a＝b•“大于”借助加法定义–若a，bN，且存在kN，使得a＝b＋k，则称ab，也说ba证明自然数的全序性•对任何a，bN，在ab,a=b,ab中有且只有一个成立•有：–取定a，设使它们总有一个成立的一切b组成的集合为M，说明•1M•假定bM，则b＋M（分三种情况都有b＋M）•只有一个转化为至多有一个：–反证：若ab,a=b同时成立，推出矛盾。同理拿其他两个也不行。紧扣归纳公理用序数理论证11个运算定律练一练•证明：加法结合律a+(b+c)=(a+b)+c自然数集的其他几个性质•自然数集的离散性：在任意两个相继的自然数a与a＋之间不存在自然数b，使aba+反证ab得a+b•阿基米德性质：设a，b为任意两个自然数，则存在自然数n，使得nab任何一个确定的数b，使用任何一个单位a去度量它，总是可以在经过n次度量之后，得到的na大于b•最小数原理:自然数集的任一非空子集中必存在一个最小数最小数原理与归纳公理等价归纳公理最小数原理（反证）假设自然数集N有一个非空子集A，A中没有最小数，所以1肯定不属于A；令所有小于A中任何一个数的自然数组成的集合为M，设法证M＝N；1M，若mM，要证m＋M（反证）假设m＋不属于M，设法证m也不属于M，即在A中找到比m小的数因为A非空，有一个元素t，tt矛盾。最小数原理归纳公理设（反证）若M不是N，令B是N－M，所以B是N的非空子集，有最小数b，b不能属于M，所以b不是1，是某一个自然数c的后继，所以cb，c不能属于B，属于M，根据归纳公理条件，所以c的后继（b）属于M，这与b不属于M矛盾,1,,MNMaMaM且若扩大的自然数集：含0•在基数理论中，把空集的基数定义为“零”，在序数理论中把“零”作为1的先行数，这样便构成了扩大的自然数集。•赞成：0并不难接受；加进去不难，也说得通；联系正负数的桥梁，序关系；•不赞成：以前自然数不含0，现在会感觉行文不便，要经常添加约定；没有实质性影响作业•设a，b，c均为自然数，用基数理论证明(a+b)+c=a+(b+c)•设a，b，c是自然数，用序数理论证明a·(b·c)＝(a·b)·c和(a+b)c=ac+bc