拱桥的计算

第四节拱桥的计算拱桥的计算拱轴线的选择与确定成桥状态的内力分析和强度、刚度、稳定验算施工阶段的内力分析和定验算恒载内力温度、收缩徐变拱脚变位活载内力内力调整拱上建筑的计算拱轴线的形状直接影响主截面的内力分布与大小，选择拱轴线的原则，是要尽可能降低荷载产生的弯矩。最理想的拱轴线是与拱上各种荷载作用下的压力线相吻合，使拱圈截面只受压力，而无弯矩及剪力的作用，截面应力均匀，若以圆弧线或抛物线作为拱桥合理拱轴线型时，很容易写出拱轴方程式，从而可以计算出各几何关系，在此不以赘述，下面主要介绍悬链线作为合理拱轴时的计算。由于动载、温度、收缩等因素的作用，实际上得不到理想的拱轴线。一般以恒载压力线作为设计拱轴线。这里主要介绍悬链线合理拱轴的计算。实腹拱一、悬链线无铰拱的内力计算实腹式拱桥的恒载集度从拱顶到拱脚均匀增加，其压力线是一条悬链线（如下图）。一般采用恒载压力线作为实腹式拱桥的拱轴线（一）合理拱轴的计算1、实腹拱的悬链线拱轴y22gd——拱顶处恒载强度γ——拱上材料单位体积重量gj——拱脚处恒载强度m——拱轴系数1yggdxddjmgfggdjggmfgmd)1(任意点的恒载强度：引入系数（1）拱轴线形的确定])1(1[)1(11fymgyfgmggdddx任意点的恒载强度假设拱轴与恒载压力线完全吻合，拱的各个截面弯矩均为零。对于拱顶截面，由于对称性，剪力也等于零。拱顶截面仅有恒载推力Hg。——半拱恒载对拱脚截面的弯矩；Hg——拱的恒载水平推力（不考虑弹性压缩）；f——拱的计算矢高fMHjgjM对任意截面取矩，可得：对拱脚截面取矩，则有：gxHMy1Mx——任意截面以右的全部恒载对该截面的弯矩值；y1——以拱顶为坐标原点，拱轴上任意点的坐标.恒载压力线的基本方程gxHMy1gxxgHgdxMdHdxyd222121两边对x两次取导数得：1lxdldx1])1(1[121212fymgHldyddg)1(212mfHglkgd为使最终结果简单，便于查表，引入参数：可得：令:则：1212122ykHgldydgd解此方程，则得拱轴线方程为：——悬链线方程以拱脚截面ξ＝1，y1＝f代入上式得：1212122ykHgldydgd)1(11chkmfymchk)1ln(21mmmchk通常，m为已知值，则k值可由下式求得要确定拱轴位置必须知道拱轴系数)1(11chkmfy拱轴线方程为：（2）、拱轴系数m值的确定djggm拱顶恒载分布集度gddhgdd21拱脚恒载分布集度gjhdhgjdj321cos其中321,,拱顶填料、拱圈及拱腹填料的容重dh拱顶填料厚度dj拱圈厚度拱脚处拱轴线的水平倾角j2cosd2dfh由上计算m值的公式可以看出，除为未知数外，其余均为已知；在具体计算m值时可采用试算法。j(a)先假设(b)根据悬链线方程确定线形位置，求j计算值时可采用试算法)1(11chkmfyy22j2cosd2dfhimm(c)根据计算出的计算出gj后，即可求得j(d)比较和，如两者相符，即假定的为真实值；如两者相差较大，则以计算出的作为假设值，重新计算，直到两者相等hdhgjdj321cosdjggm1imimim1im2、空腹式拱桥的拱轴悬链线三铰拱恒载压力线/4/4悬链线2(a)(b)(c)恒载组成：主拱圈与实腹段自重的分布力、空腹段通过腹孔墩传下的集中力。由于集中力的存在，拱的恒载压力线是一条在集中力作用处有转折的曲线，它不是悬链线，甚至不是一条光滑的曲线。由于悬链线拱的受力情况较好，又有完整的计算表格可供利用，空腹式拱桥仍采用悬链线作为拱轴线当拱顶弯矩为零时，由恒载的对称条件知，拱顶处仅有通过截面重心的恒载推力Hg，弯矩及剪力为零。为了使悬链线与其恒载压力线重和，一般采用“五点重合法”确定悬链线的m值。即要求拱轴线在全拱（拱顶、两1/4点和两拱脚）与其三铰拱的压力线重合。)1(11chkmfy拱顶截面：弯矩Md=0；剪力Qd=0。(1)空腹式拱桥仍采用悬链线作为拱轴线0AMfMHjg对拱脚取矩有：对l/4截面取矩，由有：0BM4/14/14/14/10yMHMyHgg（A）代上式到式（A），可得：jMMfy4/14/14/1M自拱定至拱跨1/4点的恒载对l/4截面的力矩。悬链线三铰拱恒载压力线/4/4悬链线2(a)(b)(c)2)1(214/1mfy求得后，即可求得m值：fy4/11)2(2124/1yfm空腹拱的m值，仍需采用试算法计算（逐次渐近法）。假定一个m值，定出拱轴线，作图布置拱上建筑；计算拱圈和拱上建筑的恒载对1/4和拱脚截面的力矩和；利用公式算出m值；如与假定的m值不符，则应以求得的m值作为假定值，重新计算，直至两者接近为止。)1(11chkmfy(2)确定空腹式拱桥m值的近似法悬链线三铰拱恒载压力线/4/4悬链线2(a)(b)(c)jMMfy4/14/11)2(2124/1yfm大量计算证明，从拱顶到1/4点，一般压力线在拱轴线之上；而从1/4点到拱脚，压力线则大多在拱轴线之下。拱轴线与相应三铰拱恒载压力线的偏离类似于一个正弦波。悬链线三铰拱恒载压力线/4/4悬链线2(a)(b)(c)应当注意，用上述方法确定空腹拱的拱轴线，仅与其三铰拱恒载压力线保持五点重合，其它截面，拱轴线与三铰拱恒载压力线都有不同程度的偏离。对大跨度空腹拱桥，这种偏离影响必须加以考虑由于悬链线拱的受力情况较好，空腹式拱桥仍较多地采用悬链线作为拱轴线（二）基本结构和弹性中心无铰拱是三次超静定结构，计算无铰拱内力时，常取用悬臂曲梁或简支曲梁作为基本结构。无论那一种基本结构，都有三个赘余力。为简化计算，引入弹性中心概念。将三个赘余力移至弹性中心，相应为H、V、M，如图。对称无铰拱若从拱顶切开取基本结构，多余力M（弯矩），H（轴力）为对称，而V（剪力）是反对称的，故知副系数引用弹性中心，设“刚臂”长为0032233113sssEIdsEIdsyy1可以证明当时，弹性中心处02112＝sy设想沿拱轴线作宽度等于1/EI的图形，则ds/EI就代表此图的面积，而上式就是计算这个图形的形心公式，其形心称为弹性中心。对于悬链线无铰拱有：)1(11chkmfydldxdscos12cos21llx其中：kshtg2221111cos则：kshlds2212这样：10221022111)1(1dkshdkshchkmfdsdsyysss悬链线三铰拱恒载压力线/4/4悬链线2(a)(b)(c)拱轴线与压力线相符拱轴线与压力线不相符（三）、恒载内力计算恒载内力拱轴线与压力线相符不考虑弹性压缩弹性压缩拱轴线与压力线不相符拱轴线与压力线偏离产生次内力不考虑弹性压缩弹性压缩flgkflgkmHdgdg222411、不考虑弹性压缩的恒载内力（1）实腹拱实腹式悬链线的拱轴线与压力线重合，恒载作用拱的任意截面存在轴力，而无弯矩。此时拱中轴力可按以下公式计算。恒载作用下的水平推力)1ln(21mmmchk前面推得其中：241kmkg拱脚的竖向反力：拱脚的竖向反力为半拱的恒载重力，即dlgdxgVxlxg11001fymgyggddx11)1(1代到上式，并积分，有lgklgmmmVdgdg'22)]1[ln(21其中)]1[ln(2122mmm'gk拱圈各截面的轴力N：由于不考虑弹性压缩时恒载弯矩和剪力为零，有cosgHN（2）空腹式拱桥在计算空腹式悬链线不考虑弹性压缩的恒载内力时，可分为两部分，即先不考虑拱轴线与压力线偏离的影响，假设恒载压力线与拱轴线完全重合，然后再考虑偏离的影响，计算由偏离引起的恒载内力，二者叠加。悬链线三铰拱恒载压力线/4/4悬链线2(a)(b)(c)不考虑偏离的影响：此时拱的恒载推力Hg，拱脚的竖向反力Vg和拱任意截面的轴力可由静力平衡条件得到fMHjgPVg（半拱恒载重力）cosgHN半拱恒载对拱脚的弯矩悬链线三铰拱恒载压力线/4/4悬链线2(a)(b)(c)偏离的影响悬链线三铰拱恒载压力线/4/4悬链线2(a)(b)(c)计算偏离产生的附加内力对于静定三铰拱，各截面的偏离弯矩值Mp按下式计算：yHMgp其中：y为三铰拱压力线在该截面的偏离值对于无铰拱，由于其是超静定结构，偏离弯矩将引起次内力，其计算过程如下：ssgsspssppIdsdsIyHIdsdsIMEIdsMEIdsMMX2111111ssgssppIdsydsIyyHEIdsMEIdsMMX22222222yHMMgp11yM2取基本结构，赘余力X1，X2作用在弹性中心，则有：sin)(cos21212XQyHyyXXMXNgs在设计中小跨径的空腹式拱桥时可以偏于安全地不考虑偏离弯矩的影响。大跨径空腹式拱桥的恒载压力线与拱轴线一般比中、小跨径偏离大，一般要计入偏离的影响。根据静力平衡条件计算任意截面的轴力N，弯矩M和剪力Q。在恒载产生的轴向压力作用下，拱圈的弹性变性表现为拱轴长度的缩短。首先将拱顶切开，假设拱桥圈可以自由变形，并假设弹性压缩会使拱轴方向缩短l。如图所示。2、弹性压缩引起的内力由于在实际结构中，拱顶没有相对水平位移，其变形受到约束，则在弹性中心处必有一水平拉力Hg推导得：1cos11120gslggHEIdsyEAdxHHssEIdsyEAdx21cos由Hg在拱内产生的弯矩、剪力和轴力(推导略）sin1)(1cos11111gsggHQyyHMHN桥规规定，下列情况可不考虑弹性压缩的影响5/14/13/1lflflf,30ml,20ml,10mlsinHμ1μQ)y(yHμ1μMcosHμ1μcosHNg11sg1g1g轴向力：弯矩：剪力：3、恒载作用下拱圈各截面的总内力不考虑压力线与拱轴线偏离时（实腹式拱）不考虑弹性压缩恒载内力弹性压缩产生的内力考虑压力线与拱轴线偏离时（空腹式拱）不考虑弹性压缩恒载内力弹性压缩产生的内力计入偏离影响sinΔX)sinΔX(Hμ1μQΔM)y)(yΔX(Hμ1μM)cosΔX(Hμ1μcos＋ΔXcosHN22g11s2g12g12g轴向力：弯矩：剪力：其中：pMyXXM21（四）活载内力计算计算无铰拱活载内力时，一般先用结构力学的方法求赘余力影响线，然后再用静力平衡条件和叠加的方法求出拱的支点反力和控制截面的内力影响线，最后在内力影响线上加载算出截面最大内力。活载内力计算仍分不考虑弹性压缩影响和考虑弹性压缩影响两部分。（五）、等截面悬链线拱其它内力计算温度变化产生的附加内力混凝土收缩、徐变产生的附加内力拱脚变位产生的附加内力其它内力1、温度引起的内力计算设温度变化引起拱轴在水平方向的变位为,与弹性压缩同样的道理，tlstttEIdsyllH2'22)1(tllt必须在弹性中心产生一对水平力Ht：式中：温度变化值，即最高（或最低）温度与合龙温度之差，温度上升时为正，下降时为负；材料的线膨涨系数；t由温度变化引起拱中任意截面的附加内力为：sincos)(1111ttsttHQHNyyHyHM弯矩轴力剪力2、混凝土收缩引起的内力混凝土收缩引起的变形，其对拱桥的作用与温度下降相似。通常将混凝土收缩影响折