条件概率

§14条件概率一、引出条件概率的例子二、条件概率的数学定义三、乘法公式四、全概率公式五、贝叶斯公式一、引出条件概率的例子例119一批同型号产品由甲乙两厂生产产品结构如下现在假设被告知取出的产品是甲厂生产的那么这件产品为次品的概率是多大呢?从这批产品中随意地取一件则这件产品为次品的概率为%83.6120081)(BP当被告知取出的产品是甲厂生产的时由于甲厂生产的500件产品中有25件次品因此5%50025一、引出条件概率的例子记“取出的产品是甲厂生产的”这一事件为A“取出的产品为次品”这一事件为B则本例所需求的是已知A发生的条件下B发生的概率此概率记作P(B|A)称为在A发生的条件下B发生的条件概率例119一批同型号产品由甲乙两厂生产产品结构如下现在假设被告知取出的产品是甲厂生产的那么这件产品为次品的概率是多大呢?一、引出条件概率的例子例119一批同型号产品由甲乙两厂生产产品结构如下现在假设被告知取出的产品是甲厂生产的那么这件产品为次品的概率是多大呢?当被告知取出的产品是甲厂生产的时由于甲厂生产的500件产品中有25件次品因此%550025)|(ABP注意)()(1200/5001200/2550025)|(APABPABP)()(1200/5001200/2550025)|(APABPABP)()()|(APABPABP容易验证对一般的古典概型只要P(A)0一、引出条件概率的例子在几何概型中(以平面区域情形为例)在平面上的有界区域内等可能地投点可见在古典概型和几何概型这两类“等可能”概型中总有)()()(/)()(/)()()()|(APABPSASSABSASABSABP)()()|(APABPABP若已知A发生则B)|()|(11AAPAAPiiii)()()|(APABPABP(12)二、条件概率的数学定义定义13(条件概率)给定概率空间(P)AB是其上的两个事件且P(A)0则称为已知事件A发生的条件下事件B发生的条件概率对给定的事件AP(A)0条件概率满足概率的三条公理(1)P(|A)1(2)对任意事件B有P(B|A)0(3)对任意可数个两两不相容的事件A1A2An有对给定的概率空间(P)及事件A，如果P(A)0则条件概率P(.|A)也是一个概率测度，因而它也满足概率测度的其他性质。特别地，当A=时，P(.|A)就是原来的概率测度P(.)。计算条件概率的方法：从试验的结构直接得到条件概率利用定义式（1.2）计算条件概率)|(1)|(ABPABP)|()|()|()|(212121ABBPABPABPABBP例120一袋中装有10个球其中3个黑球7个白球先后两次从袋中各取一球(不放回)(1)已知第一次取出的是黑球求第二次取出的仍是黑球的概率(2)已知第二次取出的是黑球求第一次取出的也是黑球的概率记Ai为事件“第i次取到的是黑球”(i12)解(1)在已知A1发生即第一次取到的是黑球的条件下第二次取球就在剩下的2个黑球、7个白球共9个球中任取一个根据古典概率计算取到黑球的概率为2/992)|(12AAP151PP)(2102321AAP103)(2AP说明例120一袋中装有10个球其中3个黑球7个白球先后两次从袋中各取一球(不放回)(1)已知第一次取出的是黑球求第二次取出的仍是黑球的概率(2)已知第二次取出的是黑球求第一次取出的也是黑球的概率记Ai为事件“第i次取到的是黑球”(i12)解在已知A2发生即第二次取到的是黑球的条件下第一次取球发生在第二次取球之前问题的结构不像(1)那么直观采用(12)式计算P(A1|A2)更方便一些(2)因为151PP)(2102321AAP103)(2AP151PP)(2102321AAP103)(2AP例120一袋中装有10个球其中3个黑球7个白球先后两次从袋中各取一球(不放回)(1)已知第一次取出的是黑球求第二次取出的仍是黑球的概率(2)已知第二次取出的是黑球求第一次取出的也是黑球的概率记Ai为事件“第i次取到的是黑球”(i12)解根据条件概率公式(12)可得92)()()|(22121APAAPAAP92)()()|(22121APAAPAAP(2)因为151PP)(2102321AAP103)(2AP151PP)(2102321AAP103)(2AP151PP)(2102321AAP103)(2AP返回上页下页补充例1设某人从一副扑克牌(52张)中任取13张牌设A为“至少有一张红桃”B为“恰有2张红桃”C为“恰有5张方块”之事件试求条件概率P(B|A)以及P(B|C)解因为所以133913521139213)(1)()()()|(APABPAPABPABP13521139213)(CCCABP13523139-1)(CCAP1339135231391139213CCCCC返回上页下页补充例1设某人从一副扑克牌(52张)中任取13张牌设A为“至少有一张红桃”B为“恰有2张红桃”C为“恰有5张方块”之事件试求条件概率P(B|A)有P(B|C)解因为所以839626213)()()|(CPBCPCBP返回1352626513213)(CCCCBCP1352839513)(CCCCP839626213CCC提示解补充例2设M件产品中包含m件废品今从中任取两件(1)求所取两件中至少有一件是废品的概率(2)求已知两件中至少有一件废品的条件下两件都是废品的条件概率记A为“两件中至少有一件是废品”B为“两件均为废品”的事件(1)所取两件中至少有一件是废品的概率为)1()12(2211)(MMmMmMmmMmAP)1()12(2211)(MMmMmMmmMmAP)1()12()(MMmMmAP(2)所取两件均为废品的概率为提示解补充例2设M件产品中包含m件废品今从中任取两件(1)求所取两件中至少有一件是废品的概率(2)求已知两件中至少有一件废品的条件下两件都是废品的条件概率记A为“两件中至少有一件是废品”B为“两件均为废品”的事件(1)所取两件中至少有一件是废品的概率为)1()12()(MMmMmAP(2)所取两件均为废品的概率为)1()1()(MMmmBP)1()1(22)(MMmmMmBP)1()1(22)(MMmmMmBP解补充例2设M件产品中包含m件废品今从中任取两件(1)求所取两件中至少有一件是废品的概率(2)求已知两件中至少有一件废品的条件下两件都是废品的条件概率记A为“两件中至少有一件是废品”B为“两件均为废品”的事件(1)所取两件中至少有一件是废品的概率为)1()12()(MMmMmAP(2)所取两件均为废品的概率为)1()1()(MMmmBP已知两件中至少有一件废品的条件下两件都是废品的条件概率为)()()|(APBPABP121)12()1(mMmmMmmm121)12()1(mMmmMmmm返回三、乘法公式乘法公式当P(A)0时有P(AB)P(A)P(B|A)(13)当P(B)0时P(AB)P(B)P(A|B)(15)根据条件概率公式当P(A)0时有)()()|(APABPABP从而P(AB)P(A)P(B|A)简要证明三、乘法公式乘法公式当P(A)0时有P(AB)P(A)P(B|A)(13)当P(B)0时P(AB)P(B)P(A|B)(15)乘法公式的推广若P(A1A2An1)0则P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An1)(16)例121某批产品中甲厂生产的产品占60%已知甲厂的产品的次品率为10%从这批产品中随意地抽取一件求该件产品是甲厂生产的次品的概率记A表示事件“产品是甲厂生产的”B表示事件“产品是次品”由题设知解P(AB)P(A)P(B|A)根据乘法公式有P(A)60%P(B|A)10%60%10%6%例122袋中有10个球其中3个黑球、7个白球先后两次从中随意各取一球(不放回)求两次取到的均为黑球的概率设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i12)则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”由题设知解103)(1AP92)|(12AAP于是根据乘法公式P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)15192103103)(1AP92)|(12AAPP(A1A2)P(A1)P(A2|A1)15192103补充例3已知甲地下雨的概率是在甲地下雨的条件下乙地下雨的条件概率是在甲、乙两地都下雨的条件下丙地下雨的条件概率是(1)求甲、乙、丙三地同时下雨的概率(2)求甲、乙两地下雨而丙地未下雨的概率解设A为“甲地下雨”B为“乙地下雨”C为“丙地下雨”则P(A)P(B|A)P(C|AB)(1)甲、乙、丙三地同时下雨的概率为P(ABC)P(A)(2)甲、乙两地下雨而丙地未下雨的概率为)1()|()|()()(ABCPABPAPCABP)1()|()|()()(ABCPABPAPCABP)1()|()|()()(ABCPABPAPCABPP(C|AB)P(B|A)返回)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP补充例4一袋中原有a只红球b只白球每次自袋中任取一球观察其颜色后放回袋中并加进与所取出的球同样颜色的球r只如此共进行了4次试求第一、第二两次均取到红球第三、四两次均取到白球的概率解记Ai为“第i次取球时取到的是红球”(i1234)则所求概率为rbarbrbabrbarabaa32rbarbrbabrbarabaa32rbarbrbabrbarabaa32rbarbrbabrbarabaa32)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP返回)|()(iiiABPAP)()]([iiiiABPABP)]([)()(iiABPBPBP)|()()(iiiABPAPBP(17)四、全概率公式简要证明定理11(全概率公式)设{Ai}是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件且iiA则对任意事件B有)]([)()(iiABPBPBP)()]([iiiiABPABP)|()()()(11iiniiniABPAPBAPBP