条件概率与独立性(包含全概率公式、贝叶斯公式)

第2章条件概率与独立性2.1条件概率与乘法公式2.2全概率公式2.3贝叶斯公式2.4事件的独立性2.5重复独立试验、二项概率公式2.1条件概率与乘法公式2.1.1条件概率在实际当中，我们常常碰到这样的问题，就是在已知一事件发生的条件下，求另一事件发生的概率．下面首先看一个例子:第2章条件概率与独立性【例2.1】设某家庭中有两个孩子，已知其中有一个是男孩，求另一个也是男孩的概率（假设男、女孩出生率相同）．解：用g代表女孩，b代表男孩，A=“该家庭中至少有一个男孩”，B=“两个都是男孩”，在已知至少有一个男孩条件下，而所求概率为1/3，记为P(B|A)=1/3，称此概率为在事件A发生下事件B发生的条件概率．Agbbgbb},,{}{bbB2.1.1条件概率如果我们去掉条件A，这时={bb，bg，gb，gg}，B={bb}，从而P(B)=1/4.前面已算出又因为A={bb，bg，gb}，P(A)=3/4，P(AB)=P(B)=1/4，易得这个结果具有一般性，启发我们给出条件概率的如下定义：).()(BPABP故1()14().3()34PABPBAPA,3/1)(ABP2.1.1条件概率定义2.1设A与B是同一样本空间中的两事件，若P(A)0，则称(1.2)为在A发生下的B的条件概率．类似地，当P(B)0时，定义在B发生下事件A发生的条件概率为(1.3)要注意区分P(AB)和P(B|A)的不同含义)()()(APABPABP)()()(BPABPBAP2.1.1条件概率注意，由此定义我们无法断言条件概率P(B|A)与无条件概率P(B)有什么必然的关系.例如，我们不能由定义断言或事实上，当BA时，有当AB=时，有)()(ABPBP)()(ABPBP).()()()()()(BPAPBPAPABPABP)(0)(BPABP2.1.1条件概率一般地，不难验证，条件概率满足概率定义1.5中的三条公理：(1)非负性：对任意事件B，P(B|A)0；(2)规范性：P(|A)=1；(3)可列可加性：设事件两两互不相容，则所以,条件概率P(·|A)也满足概率的所有其他性质．1)()()()()(0APAPAPABPABP,,,,21nBBB11)()|(iiiiABPABP2.1.1条件概率);()()()()4(212121BAAPBAPBAPBAAP).(1)()5(BAPBAP则有的事件是两两不相容设可列可加性,,,,:)6(21nBBB.)(11niiniiABPABP例如:2.1.1条件概率【例2.2】设某种动物从出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁以上的概率为40%．如果现在有一个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率．解：设A表示“能活20岁以上”的事件，B表示“能活25岁以上”的事件,则有所求概率为,8.0)(AP因为.)()()(APABPABP,4.0)(BP.218.04.0)()()(APABPABP所以由于BA,所以P(AB)=P(B),1.4.1条件概率2.1.2乘法公式由条件概率公式容易得到下面定理．定理2.1设A与B是同一样本空间中的两个事件，如果P(A)0，则(1.4)如果P(B)0，则(1.5)上面均称为事件概率的乘法公式．定理2.1容易推广到求多个事件积事件概率的情况．)()()(APABPABP)()()(BPBAPABP2.1条件概率与乘法公式则有且为事件设推广,0)(,,,:121321AAPAAA).()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP事实上))(()(321321AAAPAAAP且,0)()(211AAPAP由于)()(21321AAAPAAP).()()(213121AAAPAAPAP可进一步推广如下:右侧的条件概率均有意义,2.1.2乘法公式).()(...)()()()(12122112112121nnnnnAAAAPAAAAPAAAPAAPAPAAAP则有且,0)(121nAAAP,2,,,,:221nnAAAn个事件为设推广2.1.2乘法公式【例2.3】某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率．解：设A=任取的一件是合格品，B=任取的一件是一等品．因为且BA所以%,96)(1)(APAP%75)(ABP)()(ABPBP)()(ABPAP.72.010075100962.1.2乘法公式【例2.4】某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？解：设Ai=“第i次接通电话”，i=1，2，3，B=“拨号不超过3次接通电话”，则事件B的表达式为利用概率的加法公式和乘法公式321211AAAAAAB)(BP)|()|()()|()()(2131211211AAAPAAPAPAAPAPAP)()()(321211AAAPAAPAP.1038198109911091012.1.2乘法公式若已知最后一位数字是奇数，则)|()|()()|()()(2131211211AAAPAAPAPAAPAPAP53314354415451)(BP2.1.2乘法公式【例2.5】猎手在距猎物10米处开枪，击中概率为0.6．若击不中，待开第二枪时猎物已逃至30米远处，此时击中概率为0.25，若再击不中，则猎物已逃至50米远处，此时只有0.1的击中概率．求猎手三枪内击中猎物的概率．解：以Ai=“第i枪击中猎物”，i=1，2，3，则所求概率)(321AAAP)(1321AAAP)|()|()(1213121AAAPAAPAP)1.01)(25.01)(6.01(173.0)(1321AAAP2.1.2乘法公式☺课堂练习设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解B＝“透镜落下三次而未打破”.,321AAAB因为)()(321AAAPBP所以)()()(213121AAAPAAPAP)1091)(1071)(211(.2003)3,2,1(,iiAi次落下打破透镜第设2.1.2乘法公式在处理复杂事件的概率时，我们经常将这个复杂事件分解为若干个互不相容的较简单的事件之和，先求这些简单事件的概率，再利用有限可加性得到所求事件的概率，这种方法就是全概率公式．2.2全概率公式2.2全概率公式2.2全概率公式引例：有三个罐子,1号装有2红1黑球,2号装有3红1黑球，3号装有2红2黑球.某人从中随机取一罐，在从中任意取出一球，求取得红球的概率.213如何求取得红球的概率？？？第2章条件概率与独立性分析：红球可能取自三个罐中的任何一个，如果记Ai={取到的是i号罐}i=1,2,3;B={取得红球}则A1,A2,A3的发生都会导致B发生，并且A1,A2,A3两两互不相容，于是1232.2全概率公式12312112233()(++)=()+()+()=()(|)+()(|)+()(|)3PBABABABPABPABPABPABAABAABAPPPPPP（最后一个等号根据乘法公式）值得注意的是，这里还有A1+A2+A3=定理2.2设试验E的样本空间为,A1,A2,…,An为E的一组事件，且满足：(1)A1,A2,…,An两两互不相容，i=1,2,…,n;(2)则对任一事件B，有(1.7)(1.7)称为全概率公式．称满足(1)和(2)的A1，A2，…，An为完备事件组或样本空间的一个划分．iniA1)()()(1iniiABPAPBP,0)(iAP1A2A3A1nAnA2.2全概率公式证明：因为由于A1，A2，…，An两两互不相容，由有限可加性由假设及乘法公式得到利用全概率公式求事件B的概率，关键是寻求完备事件组A1，A2，…，An;寻求完备事件组A1，A2，…，An相当于找导致事件B发生的所有互不相容的事件．BB))(()(1iniBAPBP).()()()(11iniiniiABPAPBAPBP)(1iniAB)(1iniBAniiBAP1)(2.2全概率公式有三个罐子,1号装有2红1黑球,2号装有3红1黑球，3号装有2红2黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.解记Ai={取到的是i号罐}i=1,2,3;B={取得红球}代入数据计算得：P(B)≈0.639.31)|()()(iiiABPAPBP由全概率公式得再看引例１依题意:P(B|A1)=2/3,P(B|A2)=3/4,P(B|A3)=1/2,P(Ai)=1/3,i=1,2,32.2全概率公式【例1.15】假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求:(1)先取出的零件是一等品的概率；(2)两次取出的零件均为一等品的概率．解:设Ai=“任取的一箱为第i箱零件”，i=1,2,3，Bj=“第j次取到的是一等品”，j=1，2．由题意知A1、A2和A3构成完备事件组，且31)()()(321APAPAP2.2全概率公式(1)由全概率公式得)|(11ABP)|(21ABP6.04024)()()(1311iiiABPAPBP,4.050204.03012)|(31ABP.467.0)6.04.04.0(312.2全概率公式(2)因为由全概率公式得)|(121ABBP)|(221ABBP)|(321ABBP22.0)3538.01517.01551.0(311551.0250220CC1517.0230212CC3538.0240224CC)()()(213121iiiABBPAPBBP2.2全概率公式引例２：某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号罐的概率.213这是“已知结果求原因”的问题．求的也是一个条件概率.下面就介绍为解决这类问题而引出的公式：Bayes(贝叶斯)公式2.3贝叶斯公式2.3贝叶斯公式定理1.3设试验E的样本空间为，B为事件，A1，A2，…，An为完备事件组，且P(B)0，P(Ai)0，i=1，2，…，n，则(1.8)(1.8)式称为贝叶斯公式．niABPAPABPAPBAPiniiiii,,2,1,)()()()()(11()()(),1,2,,()()iiiniiiPAPBAPABinPAPBA2.3贝叶斯公式证明()()()iiPABPABPB,)()()()(1njjjiiAPABPAPABP.,,2,1ni该公式用于在观察到事件B已发生的条件下，通过计算导致B发生的每个原因的概率，来推断可能的原因.由条件概率公式、乘法公式及全概率公式知：2.3贝叶斯公式某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号罐的概率.再看引例２解记Ａi={取到第i号罐}i=1,2,3;Ｂ={取得红球}Ａ1,Ａ2,Ａ3是完备事件组．31111)|()()()|()|(iiiABPAPAPABPBAP由贝叶斯公式得代入数据计算得：213其中P(Ｂ|Ａ1)=2/3,P(Ｂ|Ａ2)=3/4,P(Ｂ|Ａ3)=1/2,P(Ａi)=1/3,i=1,2,3．348.0)|(1BAP2.3贝叶斯公式特别有：设事件A、B为试验E的两事件，由于A和是一个完备事件组，若P(A)0，，P(B)0，贝叶斯公式的一种常用简单形式为A0)(AP)()()()(