2013年高考理科数学试题及答案-全国卷1

第1页共13页2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国课标I)理科数学注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置．3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()．A．A∩B＝B．A∪B＝RC．BAD．AB2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()．A．－4B．45C．4D．453．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()．A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．已知双曲线C：2222=1xyab(a＞0，b＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()．A．y＝14xB．y＝13xC．y＝12xD．y＝±x5．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于()．第2页共13页A．[－3,4]B．[－5,2]C．[－4,3]D．[－2,5]6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()．A．500π3cm3B．866π3cm3C．1372π3cm3D．2048π3cm37．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()．A．3B．4C．5D．68．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．第3页共13页A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π9．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝()．A．5B．6C．7D．810．已知椭圆E：2222=1xyab(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()．A．22=14536xyB．22=13627xyC．22=12718xyD．22=1189xy11．已知函数f(x)＝220ln(1)0.xxxxx，，，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()．A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]12．设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝2nnca，cn＋1＝2nnba，则()．A．{Sn}为递减数列B．{Sn}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)第4页共13页题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.14．若数列{an}的前n项和2133nnSa，则{an}的通项公式是an＝__________.15．设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝__________.16．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通第5页共13页过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.第6页共13页(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinxtyt(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．第7页共13页2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国课标I)理科数学（答案）Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.答案：B解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2.∴集合A与B可用图象表示为：由图象可以看出A∪B＝R，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴55(34i)34i34i(34i)(34i)55z.故z的虚部为45，选D.3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵52cea，∴22222254cabeaa.∴a2＝4b2，1=2ba.∴渐近线方程为12byxxa.5．答案：A解析：若t∈[－1,1)，则执行s＝3t，故s∈[－3,3)．若t∈[1,3]，则执行s＝4t－t2，其对称轴为t＝2.故当t＝2时，s取得最大值4.当t＝1或3时，s取得最小值3，则s∈[3,4]．综上可知，输出的s∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，所以球的体积为34500π5π33(cm3)，故选A.7．答案：C解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，第8页共13页∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3.∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.∵Sm＝ma1＋12mm×1＝0，∴112ma.又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴132mm.∴m＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A.9．答案：B解析：由题意可知，a＝2Cmm，b＝21Cmm，又∵13a＝7b，∴2!21!13=7!!!1!mmmmmm，即132171mm.解得m＝6.故选B.10．答案：D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，∴2211222222221,1,xyabxyab①②，①－②，得1212121222=0xxxxyyyyab，即2121221212=yyyybaxxxx，∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，而1212yyxx＝kAB＝011=312，∴221=2ba.又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.∴椭圆E的方程为22=1189xy.故选D.11．答案：D解析：由y＝|f(x)|的图象知：①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C.②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.当x＝0时，不等式为0≥0成立．当x＜0时，不等式等价于x－2≤a.∵x－2＜－2，∴a≥－2.综上可知：a∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2.又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c，∴0＝t|a||b|cos60°＋(1－t)，0＝12t＋1－t.∴t＝2.第9页共13页14．答案：(－2)n－1解析：∵2133nnSa，①∴当n≥2时，112133nnSa.②①－②，得12233nnnaaa，即1nnaa＝－2.∵a1＝S1＝12133a，∴a1＝1.∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2)n－1.15．答案：255解析：f(x)＝sinx－2cosx＝125sincos55xx，令cosα＝15，sinα＝25，则f(x)＝5sin(α＋x)，当x＝2kπ＋π2－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值5，即θ＝2kπ＋π2－α(k∈Z)，所以cosθ＝πcos2π+2k＝πcos2＝sinα＝22555.16．答案：16解析：∵函数f(x)的图像关于直线x＝－2对称，∴f(x)满足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，即15164,0893,babab解得8,15.ab∴f(x)＝－x4－8x3－14x2＋8x＋15.由f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋