余弦定理的六种证法

余弦定理的六种证法法一(平面几何)：在△ABC中，已知,,ACbBCaC及，求c。过A作sinsinADBCDADACCBCC于，是＝，在RtABD中，2222222(sin)(cos)2cosABADBDbcabcababc，法二（平面向量）：222cos(180)2cosBBCbabBa，即：2222coscababc法三（解析几何）：把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b2－2abcosC，即c2=a2+b2－2abcosC．法四（利用正弦定理）：先证明如下等式：CBACBAcossinsin2sinsinsin222⑴证明：CBA222sinsinsin故⑴式成立，再由正弦定理变形，得结合⑴、)2(有即Cabbaccos2222.同理可证Abccbacos2222；Bcaacbcos2222.法五（用相交弦定理证明余弦定理）:?如图，在三角形ABC中，∠A=α，AB=a，BC=b，AC=c。现在以B为圆心，以长边AB为半径做圆，这里要用长边的道理在于，这样能保证C点在圆内。BC的延长线交圆B于点D和E?????ACB这样以来，DC=a-b，CE=a+b，AC=c。因为AG=2acosα，所以CG=2acosα-c。根据相交弦定理有：?????DC×CE=AC×CG，带入以后就是?????(a-b)(a+b)=c(2acosα-c)?????化简以后就得b2=a2+c2+2accosα。也就是我们的余弦定理。?????法六（面积解释）：如图9，以△ABC的三边为边长向外作三个正方形，，交AB于K。据说欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。易证(最好是将看作是旋转而成)，进而可得；同理，所以直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上两正方形面积之和。此处还有一个副产品：等价于，无需用到相似，轻松可得射影定理。图9图10假若不是直角三角形呢？如图10，△ABC的三高的延长线将三个正方形分为6个矩形，而且两两相等，，，，则，轻松可得余弦定理。例1：证明余弦定理。勾股定理只是对于直角三角形成立，很有必要将之推广到一般三角形的情形，这样在使用的时候才方便。在第一章中已经介绍了面积法证明余弦定理了，下面再介绍三种面积证法。证明勾股定理主要用到平移，而证明余弦定理则可能需要用旋转。余弦定理证明1：如图1，将△ABC绕点B旋转一个较小角度得到△DBE，则；由面积关系得，即，即，化简得。图1图2如果认为证法1较麻烦，也还有简单的证法。余弦定理证明2：只要注意到，，立马可得。余弦定理证明3：如图3，在△ABC中，设三边长度为a，b，c，在AB边上取点E，使得；在AB边上取点D，使得；易得△AEC∽△CDB∽△ACB，；由得，化简得。图3