线性代数-同济大学(更新版)课件

线性代数(LinearAlgebra)为什么要学习线性代数？1.学分2.考研3.线性代数在各学科中的应用：计算机学科中：电子工程中电路分析、线性信号系统分析、数字滤波器分析设计、IC集成电路设计、光电及射频工程中光调制器分析研制需要张量矩阵,手机信号处理、图像处理等时等需要线代；为什么要学习线性代数？化学学科中：主要应用于化学方程式，探讨化学方程式系数组的求法,系数组存在的充要条件等；生物学中：人类基因的染色体图谱在进行DNA序列对比时就用到矩阵的相似。药学中：各药成分的比例瑞典的L.戈丁在自己的数学名著《数学概观》中说：要是没有线性代数,任何数学和初等教程都讲不下去.按照现行的国际标准,线性代数是通过公理化来表述的.它是第二代数学模型,其根源来自于欧几里得几何、解析几何以及线性方程组理论.…,如果不熟悉线性代数的概念,像线性性质、向量、线性空间、矩阵等等,要去学习自然科学,现在看来就和文盲差不多,甚至可能学习社会科学也是如此.在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组.但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等.我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形.在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具.第一章行列式内容提要§1二阶与三阶行列式§2全排列及其对换§3n阶行列式的定义§4行列式的性质§5行列式按行（列）展开行列式的概念.行列式的性质及计算.•行列式是线性代数的一种工具！•学习行列式主要就是要能计算行列式的值.§1二阶与三阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式.一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组11112212112222axaxbaxaxb由消元法，得211211221122211)(abbaxaaaa212221121122211)(baabxaaaa当时，该方程组有唯一解021122211aaaa211222112122211aaaabaabx211222112112112aaaaabbax求解公式为11112212112222axaxbaxaxb122122111221221112121211221221baabxaaaaabbaxaaaa二元线性方程组请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.其求解公式为11112212112222axaxbaxaxb122122111221221112121211221221baabxaaaaabbaxaaaa二元线性方程组我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.1112112212212122aaDaaaaaa11122122aaaa记号11122122aaaa数表表达式称为由该数表所确定的二阶行列式，即11221221aaaa其中，称为元素.(1,2;1,2)ijaiji为行标，表明元素位于第i行；j为列标，表明元素位于第j列.原则：横行竖列二阶行列式的计算11122122aaaa11221221aaaa主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积——对角线法则二元线性方程组11112212112222axaxbaxaxb若令11122122aaDaa1211222bbaDa1221121baDab(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为1122122111221221DDbaabxaaaa1121212211221221abbaDxaaaaD例1求解二元线性方程组1212232121xxxx解因为1223D07)4(314)2(12112121D21243121232D所以11142,7DxD222137DxD二、三阶行列式定义设有9个数排成3行3列的数表原则：横行竖列引进记号称为三阶行列式.111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa主对角线副对角线二阶行列式的对角线法则并不适用！三阶行列式的计算——对角线法则111213212223313233aaaDaaaaaa132132aaa112233aaa122331aaa132231aaa122133aaa112332aaa注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.12-4-221-34-2D例2计算行列式解按对角线法则，有D4)2()4()3(12)2(21)3(2)4()2()2(241124843264.14方程左端解由得2111230.49xx例3求解方程1229184322xxxxD,652xx2560xx3.2xx或§2全排列和对换问题把n个不同的元素排成一列，共有多少种不同的排法？定义把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列.n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示.(1)(2)321!nPnnnn显然即n个不同的元素一共有n!种不同的排法.所有6种不同的排法中，只有一种排法（123）中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前.因此大部分的排列都不是“顺序”，而是“逆序”.3个不同的元素一共有3!=6种不同的排法123，132，213，231，312，321对于n个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序.例如在排列32514中，32514逆序逆序逆序思考题：还能找到其它逆序吗？答：2和1，3和1也构成逆序.定义排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.排列的逆序数通常记为.12niii12()ntiii奇排列：逆序数为奇数的排列.偶排列：逆序数为偶数的排列.思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列.计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为12ntttt设是1,2,…,n这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序.先看有多少个比大的数排在前面，记为；再看有多少个比大的数排在前面，记为;……最后看有多少个比大的数排在前面，记为;12nppp1p1p1t2p2p2tnpnpnt例1：求排列32514的逆序数.解：(32514)010315t练习：求排列453162的逆序数.9t解：§3n阶行列式的定义一、概念的引入111213212223313233aaaDaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa规律：1.三阶行列式共有6项，即3!项．2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．3.每一项可以写成（正负号除外），其中是1、2、3的某个排列.4.当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.123123pppaaa123ppp123ppp123ppp所以，三阶行列式可以写成123123123()123(1)tpppppppppaaa其中表示对1、2、3的所有排列求和.123ppp二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.111213212223313233aaaDaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa二、n阶行列式的定义1.n阶行列式共有n!项．2.每一项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积．3.每一项可以写成（正负号除外），其中是1,2,…,n的某个排列.4.当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.1212nppnpaaa12nppp12nppp12nppp1212121112121222()1212(1)nnnnntpppppnppppnnnnaaaaaaDaaaaaa简记作，其中为行列式D的(i,j)元det()ijaija思考题：成立吗？答：符号可以有两种理解：若理解成绝对值，则；若理解成一阶行列式，则.1111111注意：当n=1时，一阶行列式|a|=a，注意不要与绝对值的记号相混淆.例如：一阶行列式.11111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa例：写出四阶行列式中含有因子的项.2311aa例：计算行列式解：11233244aaaa11233442.aaaa和142323241000000000000aaDaa112213344000000000000aaDaa112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa解：112213344000000000000aaDaa142323241000000000000aaDaa11223344aaaa(4321)14233341(1)taaaa14233341aaaa(4321)0123t346.2其中111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa11223344aaaa14233341aaaa12,11nnnaaDa1122nnaaDa四个结论：(1)对角行列式nnaaa2211(2)(1)212,11(1)nnnnnaaannnnaaaaaaD21222111000nnnnaaaaaaD00022211211(3)上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）nnaaa2211(4)下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）nnaaa2211思考题：用定义计算行列式解：用树图分析1133123122112134）（22143）（32413）（42431）（491223D故1130230021011210D思考题已知，求的系数.1211123111211xxxxxf3x故的系数为－1.解含的项有两项，即3x1211123111211xxxxxf对应于124311223443(1)taaaa(1234)11223344(1)taaaa(1234)311223344(1),taaaax1243311223443(1)2taaaax3x例2用行列式的定义计算0001000200100000000nDnn1221!nnnDn解1,12,21,1111211!tnnnnnnttDaaaannn12212321122tnnnnnnn练习1：计算下列n阶行列式的值xyyxyxyx000000定理2n阶行列式也可定义为121212()12(1)nnntppppppnpppDaaa定理3n阶行列式也可定义为121211221212()()(1)nnnnnntiiitjjjijijijiiijjjDaaa§4行列式的性质一、行列式的性质111212212212,nnnnn