知识点094--分母有理化(填空题)

一、填空题（共82小题）1、（2009•上海）分母有理化：=．考点：分母有理化。分析：根据分母有理化的方法，分子、分母同乘以．解答：解：==．点评：本题比较容易，考查分母有理化的方法．2、（2008•上海）化简：=2+．考点：分母有理化。分析：本题只需将原式分母有理化即可．解答：解：==2+．点评：本题考查的是二次根式的分母有理化，找出分母的有理化因式是解答此类问题的关键．3、（2008•贵港）观察下列等式：，，，…请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：=2006．考点：分母有理化。专题：规律型。分析：所求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为：+…+=，然后利用平方差公式计算．解答：解：∵，，，…∴原式=（+…+）（）=（）（）=2008﹣2=2006．故本题答案为：2006．点评：解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的抵消规律．4、（2007•厦门）计算=．考点：分母有理化。专题：计算题。分析：运用二次根式的乘法法则，将分子的二次根式化为积的形式，约分，比较简便．解答：解：原式==．点评：主要考查了二次根式的化简和二次根式的运算法则．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．5、（2006•厦门）计算：（）0+•（）﹣1=2．考点：分母有理化；零指数幂；负整数指数幂。分析：按照实数的运算法则依次计算，注意（）0=1，（）﹣1=．考查知识点：负指数幂、零指数幂、二次根式的化简．解答：解：（）0+•（）﹣1=1+•=1+1=2．点评：传统的小杂烩计算题，涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简．6、（2006•黄冈）化简：=．考点：分母有理化。专题：计算题。分析：根据最简二次根式的方法求解即可．解答：解：==，故填．点评：本题主要考查了二次根式的化简方法．7、（2004•郑州）计算：=．考点：分母有理化；负整数指数幂。分析：按照实数的运算法则依次计算，=2，将分母有理化．解答：解：原式=2+=2+﹣2=．故本题答案为：．点评：涉及知识：数的负指数幂，二次根式的分母有理化．8、（2002•浙江）分母有理化：=．考点：分母有理化。分析：分子分母同乘以有理化因式2﹣．解答：解：==2﹣．点评：要将+中的根号去掉，要用平方差公式（+）（﹣）=a﹣b．9、（2004•江西）化简：=1﹣．考点：分母有理化。分析：由于5=，将分子提，与分母约分即可．解答：解：==1﹣．点评：当分子分母有公因数时，可约去公因数化简．10、（2002•湛江）分母有理化=+1．考点：分母有理化。分析：分母有理化就是指通过分子分母同时乘以同一个数，来消去分母中的根号，从而使分母变为有理数．完成分母有理化，常要用到平方差公式．解答：解：==．点评：要正确使用平方差公式，去掉分母中的根号．11、（2001•乌鲁木齐）计算的结果为．考点：分母有理化；负整数指数幂。分析：根据负整数指数幂的定义变成分式的形式，再分母有理化．解答：解：原式==2+．故本题答案为：2+．点评：解答此题要熟知：实数的负指数幂等于实数的正指数幂的倒数．12、（2001•陕西）化简的结果是﹣．考点：分母有理化。分析：先找分子分母的公因式，约分，再化简．解答：解：原式===﹣．点评：当分子分母有公因式时，可约去公因式化简．13、（2001•常州）（﹣2）0=1；（）﹣1=2；=﹣1﹣．考点：分母有理化；零指数幂；负整数指数幂。分析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：（﹣2）0=1；（）﹣1==2；==﹣1﹣．故本题答案为1；2；﹣1﹣．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算．14、（2000•昆明）化简的结果是﹣2．考点：分母有理化。分析：根据二次根式的性质把分母有理化即可．解答：解：原式==﹣2．点评：应先进行分母有理化，再计算．15、（1999•温州）已知，则=﹣4．考点：分母有理化。分析：首先求出a和的值，然后再代值求解．解答：解：由题意，知：a===﹣（+2），=﹣2；故a+=﹣（+2）+﹣2=﹣4．点评：此题主要考查的是二次根式的分母有理化，能够准确的找出分母的有理化因式是解答此类题的关键．16、（1999•上海）化为最简根式=．考点：分母有理化。分析：当一个二次根式含有分母时，一般应把它化简成分母中不含二次根式的式子，也就是把它的分母有理化．本题中，分子、分母同乘以2x即可．解答：解：∵＞0，∴x＞0，∴=．点评：主要考查了二次根式的化简，属于基本题型．17、（1998•宁波）分母有理化=．考点：分母有理化。分析：分母有理化就是指通过分子分母同时乘以同一个数，消去分母中的根号，从而使分母变为有理数．结合本题，分母的有理化因式为，因此将分子、分母同乘以，消去分母中的根式即可．解答：解：==．点评：本题主要考查了分母有理化的计算方法，找出分母的有理化因式解决此类题的关键．18、方程（+1）x=+2的解是．考点：分母有理化；解一元一次方程。专题：计算题。分析：本题可右边提两边约分，得到解；也可先将方程的左右两边同时乘以﹣1，可将方程简化．解答：解：方程右边提得（+1）x=（+1）两边同除以（+1），得x=．点评：本题方程左右两边都乘以﹣1，就可使方程得到简化．类似的方程也可找出相应的关系来化简方程，以便求解．19、与的关系是相等．考点：分母有理化。分析：把分母有理化，即分子、分母都乘以，化简再比较与的关系．解答：解：∵=，∴的关系是相等．点评：正确理解分母有理化的概念是解决本题的关键．20、计算：=1+考点：分母有理化。分析：根据分式的基本性质，分子提，再与分母约分即可．解答：解：==+1．点评：主要考查二次根式的分母有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式分母有理化．21、写出一个无理数使它与的积是有理数（答案不唯一）．考点：分母有理化。专题：开放型。分析：利用平方差公式可得，所求无理数为，答案不唯一．解答：解：与的积是有理数的无理数可以是：．（答案不唯一）．点评：本题是一道开放题只要符合题意即可．22、已知，比较：a=b（填“＞、＜或=”）．考点：分母有理化。专题：计算题。分析：先对a进行分母有理化，然后与b比较即可．解答：解：∵a==2﹣，b=2﹣∴a=b．点评：解答此题应当找到2+的有理化因式，再进行分母有理化．23、计算：=+1．考点：分母有理化。分析：根据二次根式的乘法法则，分子提，再与分母约分即可．解答：解：==+1．点评：主要考查了二次根式的乘除法运算．二次根式的运算法则：乘法法则=（a≥0，b≥0）．24、观察下列二次根式的化简：，，，…从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值．=2009．考点：分母有理化。专题：规律型。分析：先将第一个括号内的各项分母有理化，此时发现，除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可计算出第一个括号的值，然后再计算和第二个括号的乘积．解答：解：原式=（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）（+1）=（﹣1）（+1）=2009．点评：本题考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加减运算．能够发现式子的规律是解答此题的关键．25、计算=，=2﹣．考点：分母有理化；二次根式的性质与化简。分析：（1）分母有理化即可；（2）判断出和2的大小，再进行计算即可．解答：解：（1）==+；（2）=2．点评：主要考查了二次根式的化简和平方差的运用．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．26、写出一个式子，使它与﹣1之积不含二次根式+1．考点：分母有理化。专题：开放型。分析：本题实际是求﹣1的有理化因式，一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．据此作答．解答：解：与﹣1之积不含二次根式的式子为：+1．点评：此题主要考查二次根式的有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．27、化简=．考点：分母有理化。分析：被开方数的分子分母都乘3即可化简．解答：解：==．点评：这类题主要是把分母变成平方的形式开平方即可．28、计算：=．考点：分母有理化。分析：根据二次根式的除法法则计算．解答：解：=．点评：主要考查了二次根式的除法运算．除法法则=（a＞0，b≥0）．29、观察下列等式：①；②；③；…，请用字母表示你所发现的律：．考点：分母有理化。专题：规律型。分析：本题求的是分母有理化的计算方法，先找出分母的有理化因式，然后利用平方差公式进行求解即可．解答：解：===．点评：本题主要考查了分母有理化的计算方法，找出分母的有理化因式是解题的关键．30、的倒数是2+，=﹣．考点：分母有理化。分析：（1）根据倒数的概念写出2﹣的倒数，再把其分母有理化即可；（2）根据二次根式有意义的条件解答即可．解答：解：（1）根据倒数的概念可知，的倒数是==2+；（2）∵3＞2，∴＞，∴原式=|﹣|=﹣．点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟知以下概念：（1）倒数：如果两个数的乘积等于1，那么这两个数叫互为倒数；（2）二次根式规律总结：当a≥0时，=a；当a≤0时，=﹣a．31、计算：﹣=﹣．考点：分母有理化。分析：被开方数为平方数，根据开平方的性质计算．解答：解：﹣=﹣=﹣．点评：化简二次根式要注意观察被开方数，若被开方数为分式形式，要注意利用分式性质化简；若被开方数是整式或整数形式，要用分解因式或因数．然后把能开的尽方的因数或因式开出来．32、计算：=．考点：分母有理化。分析：此题考查了二次根式的除法，．解答：解：==．点评：此题比较简单，解题时要细心，注意运算法则的应用．33、=7x，则x=．考点：分母有理化。专题：常规题型。分析：解题时首先把=7x进行分子有理化，然后求出x的值．解答：解：分子有理化得：，∵x≠0，∴两边平方化简得：再平方化简得：点评：主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．34、化简：=．考点：分母有理化。分析：本题需注意隐含的条件：＞0，即x＞0；然后在根据二次根式的性质进行化简．解答：解：由题意，知：＞0，即x＞0；∴=．点评：在二次根式化简的题目中，若有已知条件或隐含条件，则根据已知或隐含条件化简；若没有已知条件或隐含条件时，则必须加以讨论．特别是对于开方后式子中两个绝对值以上的题目，要采取零点分段的方法逐一加以考虑．35、=．考点：分母有理化。分析：根据二次根式的性质化简．解答：解：原式===．点评：本题考查了二次根式的化简，注意要化简成最简二次根式．36、阅读下面的运算过程：（1）；（2）；（3）；这里把分母中的根号化去的过程叫“分母有理化”，仿照上面的例子，把下面分母有理化：（1）=4﹣；（2）=﹣．考点：分母有理化。专题：阅读型。分析：先仔细阅读材料，弄清“分母有理化”的概念，然后解答．解答：解：（1）===4﹣；（2）==﹣+．点评：本题主要考查了分母有理化的计算方法，找出分母的有理化因式是解决问题的关键所在．37、计算：=，=．考点：分母有理化。分析：把式子分母有理化即可．解答：解：=；==．点评：分母中含根号的，必须把分母中的根号去掉．38、若的小数部分为b，则=2+．考点：分母有理化；估算无理数的大小。专题：计算题。分析：先利用“夹逼法”求得b的值，然后将其代入，最后根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．解答：解：∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴﹣2＜﹣