同济-高等数学-第三版(6.2) 第二节 可分离变量方程

可分离变量方程是可积方程的最基本形式，其它类型的可积分方程最终都是化为可分离变量方程求解的，掌握可分离变量方程解的存在性理论是理解用积分法解微分方程的基础。求解微分方程的前提是方程必需有解，从微积分讨论角度考虑，还希望方程的解能够由初等函数表示，那些能由初等函数表示的解称为初等解(公式解)。遗憾的是，一般的微分方程未必有初等解，即便对最简单的一阶方程也是如此。通过对各类微分方程的研究，人们找到了一些方程，它们的解可由初等函数表示，这便是微分方程求解要讨论的内容。可由初等方法求解的微分方程一般有三类：从运算角度讲，解微分方程就是设法消去方程中导数记号，使其化为仅含未知函数y及自变量x的式子。由于积分运算是导数运算的逆运算，消去导数记号最直接的方法就是积分。这种能够通过积分运算消去方程中导数记号并求出通解的方程称为可积型的方程。可积型方程通常是一阶方程F(x,y,y)=0中的某些特殊形式。(1)可积型方程(2)可降阶型方程可降阶型方程指是一类高阶方程。高阶方程的求解一般比一阶方程困难得多，所以对于高阶方程的讨论通常不是直接考虑求其通解，而是考虑设法通过变量代换法将其转化为低阶方程再求解，这一过程称为降阶。并非任何高阶的方程都可降阶，只有当其满足一定条件时才有可能。这种可通过降阶法化为低阶方程的高阶方程称为可降阶方程。高阶方程的讨论就是研究哪些方程可以降阶及如何进行降阶的方法。(3)线性方程若方程中所含未知函数及其导数都是一次的，称这类方程为线性微分方程。线性微分方程具有良好的代数性质，这些性质使得方程的解具有简单的结构，甚至可不必通过积分，只需用代数方法便可求得其通解。正是由于这一特点，使得讨论线性微分方程解的结构及求解的代数方法成为研究微分方程求解的又一条途径。求解微分方程的基础是一阶方程的求解。对可积型方程，求解的方法就是设法通过积分消去方程中的导数记号y'．为能够对未知函数的导数进行积分，一阶微分方程F(x,y,y)=0必需满足两个条件：•导数必须是可解出的由方程F(x,y,y')=0可解出导数y'，即方程可化为如下形式：y=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.(1)一阶可积型方程的特点•导数表达式中的二元函数必须是变量可分离的由于不定积分计算只能对单变量函数进行，而由一阶方程F(x,y,y)=0解出的导数y'一般是x、y的二元函数，即导数可解出的方程的一般形式为：y=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.只有当f(x,y)或P(x,y)、Q(x,y)可表为单变量函数或可分离变量时，才能对其进行积分，即它们必需可化为如下形式：f(x,y)=h(x)/g(y)，P(x,y)=h1(x)/g1(y)，Q(x,y)=h2(x)/g2(y).由上分析，对一阶方程F(x,y,y')=0，可直接由积分法求解的方程的一般形式为：y=f(x,y)=h(x)/g(y),g(y)0，或h1(x)·g1(y)dx+h2(x)·g2(y)dy=0，其中g1(y)、h2(x)0.一般地，若一阶方程可写成g(y)dy=f(x)dx的形式，就称其为可分离变量方程。将方程化为这一形式的步骤称为分离变量。(2)可分离变量方程的一般形式(1)可分离变量方程解的存在性及解法对于给定的可分离变量方程y=h(x)/g(y),g(y)0，考虑方程的求解。分离变量有g(y)dy=f(x)dx.若f(x)、g(y)都是I上的连续函数，则它们的原函数都存在。设它们的原函数分别为F(x)、G(y)，即有∫f(x)dx=F(x)+C1，∫g(y)dy=G(y)+C2.在方程g(y)dy=f(x)dx两边积分有G(y)=∫g(y)dy=∫f(x)dx=F(x)+C.可以证明，由二元方程U(x,y)=G(y)-F(x)=C.所确定的隐函数y=y(x)就是该可分离变量方程的解。因此二元方程U(x,y)=G(y)-F(x)=C又称为该微分方程一个隐式解。因为二元方程G(y)-F(x)=C含有一个任意常数,所以它又是可分离变量方程g(y)dy=f(x)dx的隐式通解。由上讨论可得如下结果：•在函数f(x),g(y)连续，且g(y)0的条件下，可分离变量方程g(y)dy=f(x)dx一定有解。•可分离变量方程的通解可直接由积分法求得，其通解形式为G(y)=∫g(y)dy=∫f(x)dx=F(x)+C.•可分离变量方程是唯一可直接由积分方法求解的一阶常微分方程形式。(2)可分离变量方程有解的意义•理论意义•可分离变量方程的求解步骤•判别给定方程是否为可分离变量方程由方程F(x,y,y)=0解出导数y=f(x,y)；考察f(x,y)是否可分离变量，即是否有f(x,y)=h(x)·g(y).•分离变量、积分求通解将可分离变量方程写成标准形式g(y)dy=f(x)dx,方程两边积分求通解G(y)=∫g(y)dy=∫f(x)dx=F(x)+C.例：求方程y-xy=a(y2+y)的通解。由于微分方程并非总是可解的，可解方程只是某些具有特定形式的方程。因此，考虑微分方程的求解首先应注意判别其是属于某种可解方程的形式或类型，再根据方程类型采取相应解法。所谓判别方程类型通常就是观察或改写给定方程，使其符合某种可积方程的标准形式。由给定方程y-xy=a(y2+y)解出导数，即对方程作恒等变形有(x+a)y=y-ay2.由此可看出给定方程为可分离变量方程。判别方程类型，采取相应解法•判别方程类型•分离变量并积分分离变量有两边积分有211ddyxxayay.211ddyxxayay,其中111dlnlnlnxxaCCxaxa,2dd1d11yyayyayyyayay22lnlnlnln11yCCyayay,•整理积分结果、写出方程通解由上计算求得即有记：C=C1C2，求得方程的通解为121lnln1yCxaCay,121yCCxaay,.1yCxaay例：求方程x2ydx=(1-y2-x2y2+x2)dy满足初始条件y(0)=1的特解。这是个微分方程初值问题，为求方程满足初始条件的特解应先求其通解。方程由对称形式P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0给出,相应地考察dx,dy的系数函数可否分离变量。由于dx的系数函数显然可分离变量，故关键考察dy的系数。1-y2-x2y2+x2=(1-y2)-x2(y2-1)=(1-y2)(x2+1),故给定方程为可分离变量方程。•判别方程类型判别方程类型，采取相应解法将给定方程改写成x2ydx=(1-y2)(x2+1)dy，分离变量有由于微分方程计算目的是求方程通解，故对可分离变量方程，在可能情况下，可尽量采用凑微分法求解。方程两边分别凑微分有2221dd1yxxyyx.222111dddarctan111xxxxxxx,22111dddln2yyyyyyyy,•分离变量并凑微分于是原微分方程等价于如下方程由微分的性质有由可分离变量解的存在性讨论知，上式等价于原微分方程，且由于其含有一个任意常数，因而它就是方程的隐式通解。21darctandln2xxyy21dd0arctanln2Uxyxxyy,,21arctanln.2UxxyCxyy,•代入初始条件求特解将初始条件y(0)=1代入方程通解有即有0-arctan0=ln1-1/2=C，故解得方程满足初始条件的特解为2011.arctanln012xyUCxxyy,2**11arctanln0.22xxyy例：由物理学知道，物体冷却的速率与当时的物体温度和周围环境温度之差成正比。今把100ºC的沸水注入杯中，放在室温为20ºC的环境中自然冷却，5min后测得水温为60ºC.求水温u(ºC)与时间t(min)之间的函数关系。由于物理学定律所描述的是物体冷却速率与相关因素的关系，因此直接建立水温u与时间t之间的函数关系是不便的。为此考虑先建立水温冷却速率与相关因素的微分方程，再通过求解微分方程导出所求函数关系式。根据问题的物理意义布列方程并求解设经tmin后水温为uºC，则水温变化速率为已知水温冷却速度与温差成正比，设比例系数为k(k0).根据物理条件有且满足t=0时，u=100，t=5时，u=60.容易看出，这是个可分离变量方程的初值问题。求出此初值问题的解便可求得水温u与时间t的函数关系式u=u(t).ddut.d20dukut.分离变量有由于此冷却过程的水温总不会低于室温，即总有u(t)20.于是在方程两边积分可求得其通解为ln(u-20)=-kt+C1.即u-20=e-kt+C1.记:C=eC1，则有u=20+Ce-kt.代入条件ut=0=100，解得C=80，代入条件ut=5=60，解得于是求得所求函数关系式为dd20uktu.151e2k.1512080e2ktuut.例：设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比(比例系数为k,k0)，并设降落伞脱钩时(t=0)的速度为零。求降落伞下落速度与时间的函数关系。由物理学理论知，物体的运动是由受外力作用引起的。为建立降落伞下落的速度与时间的函数关系式，需先分析降落伞下落过程中的受力情况。降落伞下落过程中受到两个力的作用，一个是重力，一个是空气阻力。因此其下落过程中所受外力为F=f1-f2=mg-kv.1fmg2fkv根据问题的物理意义布列方程并求解设降落伞下落速度为v(t)，由降落伞下落过程中受力情况分析有F=f1-f2=mg-kv.根据牛顿第二定律于是可得函数v(t)所满足的微分方程为且其满足条件vt=0=0.容易看出，这是个可分离变量方程的初值问题。求出此初值问题的解便可求得降落伞下落速度与时间的函数关系v=v(t).ddvFmamt.ddvmmgkvt,分离变量有由于降落伞受合力F=mg-kv的作用而下落，故下落速度v(t)方向与F方向一致，即总有mg-kv0.于是在方程两边积分有即代入初始条件vt=0=0，解得：mg/k.于是求得降落伞下落速度与时间的函数关系为d1dvtmgkvm.111ln+ktkCmtmgkvCmgkvekm.11eektkCtmmgvCCkk,.其中1e0ktmmgvtTk,.,由于微分方程未必总有解，因此其求解问题的讨论通常不是寻求方程的一般解法，而是注重考察可解方程的类型和形式，再根据其形式建立相应解法。可分离变量方程解的存在性及可解条件的一般性，使得一阶方程的讨论有了一个基础平台，其它形式的一阶方程可考虑通过变形将其转化为可分离变量方程求解。(1)二元齐次多项式及其性质具有如下形式的二元多项式称为二元齐次多项式：f(x,y)=ax2+bxy+cy2．二元齐次多项式具有以下性质：对于任意的参数t有f(tx,ty)=a(tx)2+b(tx)(ty)+c(ty)2=t2(ax2+bxy+cy2)=t2f(x,y)．若对于任意参数t，二元函数f(x,y)满足f(tx,ty)=tnf(x,y)，则称f(x,y)为n次齐次函数。特别地，若对于任意参数t，二元函数f(x,y)满足f(tx,ty)=t0f(x,y)，则称f(x,y)为零次齐次函数。零次齐次函数具有以下性质：若f(x,y)为零次齐次函数，则存在一元函数(u)或(v)，使得(2)齐次函数的概念及零齐函数的性质.xyffxyxyyx,,,或零次齐次函数上述性质指出：二元零次齐次函数总可表为一元函数。因为f(tx,ty)=f(x,y)，取t=1/x，则有f(x,y)=f(tx,ty)111yyffxyxxxx.,,(1)齐次方程的概念设一阶方程以导数式给出，即若f(x,y)为零次齐次函数，则称其为齐次方程或