2-2 线性相关与线性无关

0,,,,,,,:22112121mmmmkkkkkkA使全为零的数如果存在不给定向量组注意.0,0,,,,1.2211121成立才有时则只有当线性无关若nnnn.,2.线性相关性无关就是不是线对于任一向量组定义1一、线性相关与线性无关的概念则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．A2.2线性相关与线性无关.,0,0,3.线性无关则说若线性相关则说若时向量组只包含一个向量.4.组是线性相关的包含零向量的任何向量.,.5量共面向量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向义量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分它线性相关的量组对于含有两个向量的向mmb2211，使，，一组数如果存在和向量给定向量组mmbA,,,,,:2121的线性组合，这时称是向量组则向量Ab向量能由向量组线性表示．bA定义2.2211有解即线性方程组bxxxmm例：设100010001,,321eeeE那么321732100701030012732eeeb就是b的线性组合，其中2，3,7是线性组合的系数。.,,.,,,:,,,,(1)1121也线性无关向量组则线性无关量组若向反言之也线性相关向量组则线性相关：向量组若ABBAmmm定理1定理2向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．m,,,212mm,,,211m证明充分性设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.maaa,,,21ma即有112211mmma2.2.2线性相关性的判定故01112211mmma因这个数不全为0，1,,,,121mm故线性相关.m,,,21必要性设线性相关，m,,,21则有不全为0的数使,,,,21mkkk.02211mmkkk.,,,,,:,,,,:3.121且表示式是唯一的线性表示必能由向量组向量则线性相关组而向量线性无关设向量组定理AbbBAmmbxaxaxann2211线性方程组的向量表示.,,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．线性表示的列向量组可被有解的充分必要条件是线性方程组nmmbbxxxAx,,A,212211).,,(.0A,0212211mmmAxxxxA其中有非零解即方程组线性相关就是齐次线性向量组的线性相关性相同。与向量组则向量组个分量对调而得，个分量与第的第把即向量其中维列向量组：设两个定理BAsrmjaaaaaaaaBAnjjmjrjsjjjmjsjrjjjmm),,,2,1(,,;,,:;,,:4112121也线性相关。线性相关，则向量组若向量组线性无关。线性无关，则向量组若向量组维向量组个分量称为的每个向量添加维向量组推论：也线性无关。则向量组线性无关向量组增加一个分量而得。若是由即的向量满足与设有两个向量组定理ABBAnrnArBAmjaaaaaaajjjrrjjjjrjjjjB),,,2,1(,,BA:5,12121..,,,:,,,:.,,,:,,,:21212121它们等价。能相互线性表示，则称向量组与若向量组线性表示可由向量组向量组则称线性表示，向量组组中的每个向量都能由若及设有两个向量组BABAABBAsmsm定义3向量组之间的等价具有以下性质•1.自身性：每个向量组与自身等价•2.对称性：若向量组A与B等价，则向量组B•与A等价。•3.传递性：若向量组A与B等价，向量组B与•C等价，则向量组A与C等价。•可以通过矩阵来表述线性表示。使在数存量线性表示，即对每个向能由（和（若记,,,),,2,1().,,,),,,212121mjjjjsmkkksjbABbbbBAmmjjjjkkkb2211,),,,2121mjjjmkkk（),,,21sbbb（从而msmmssmkkkkkkkkk21222211121121),,,（.)(数矩阵称为这一线性表示的系矩阵ijsmkK矩阵：为这一表示的系数的列向量组线性表示，矩阵的列向量组能由，则矩阵若BACBACnssmnmsnssnnsnkkbbbbbbbccc2122221112112121),,,),,,（（TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa2121222211121121：为这一表示的系数矩阵的行向量组线性表示的行向量组能由同时，ABC,１.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；２.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）３.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点）小结.,)3(0)2(0)1(:两式不一定同时成立或者线性相关的充要条件是，两个向量；线性无关的充要条件是一个向量；线性相关的充要条件是一个向量试证明kk思考题证明（１）、（２）略．（３）充分性.,,0,0,,,,即可令则不妨设得使存在不全为零的数线性相关xykxyxyxyx必要性.,,0)(1,线性相关知由定义则有不妨设kk思考题解答