【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.2第一课时余弦定理课件 新人教B版必修5

1.1.2余弦定理学习目标1.掌握余弦定理，能够初步应用余弦定理解一些斜三角形．2．能运用余弦定理解决某些与测量有关和几何计算有关的实际问题.第一课时课堂互动讲练知能优化训练第一课时课前自主学案课前自主学案温故夯基已知直线l，向量AB→，e为直线l上的向量，则AB→在e方向上的正射影的数量可写为________________．|AB→|cos〈AB→，e〉1．余弦定理余弦定理：三角形任何一边的_____等于其他两边的_______减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即在△ABC中，有：a2＝________________，b2＝_______________，c2＝_______________.余弦定理的特例：勾股定理在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则_________.知新益能平方平方和c2＝a2＋b2a2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－2bccosA2．余弦定理的变式运用b2＋c2－a2＝________，a2＋c2－b2＝________，a2＋b2－c2＝________；cosA＝_________，cosB＝_________，cosC＝_________.2bccosA2accosB2abcosCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab思考感悟1．余弦定理及其变式中，共有四个量，知道其中的几个量可以求出其他的量？提示：余弦定理及其变式中都联系到三边和一角四个量，所以在余弦定理及其变式中可以知三求一．3．应用余弦定理可解决两类问题因为余弦定理的每个表达式中，各含四个元素:三边一角，所以用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求_______；(2)已知两边和它们的夹角，求____________________．三个角第三边和其他两个角思考感悟2．运用余弦定理解三角形时，结果唯一吗？提示：结果唯一．课堂互动讲练已知两边及夹角，解三角形例1在△ABC中，已知a＝4，c＝23，B＝30°，解这个三角形．【分析】首先利用余弦定理求出边b，然后用正弦定理，结合边角关系以及三角形内角和定理求得另外两角．【解】由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝42＋(23)2－2×4×23×cos30°＝4，所以b＝2，由正弦定理asinA＝bsinB，得4sinA＝2sin30°.解得sinA＝1，因此A＝90°，故C＝60°.【点评】已知两边及其夹角解三角形时先利用余弦定理求第三边，后用正弦定理求其余两角，解是唯一的．自我挑战1在△ABC中，A＝120°，b＝3，c＝5，求：(1)sinBsinC；(2)sinB＋sinC.解：(1)∵b＝3，c＝5，A＝120°，∴由余弦定理，得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝9＋25－2×3×5×(－12)＝49.∴a＝7.由正弦定理，得sinB＝bsinAa＝3×327＝3143，sinC＝csinAa＝5143，∴sinB·sinC＝45196.(2)由(1)可得sinB＋sinC＝473.在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.【分析】在三角形中，大边对大角，所以a边所对角最大．已知三边，解三角形例2【解】∵acb，∴A为最大角．法一：由余弦定理有cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°，又∵sinA＝32，∴sinC＝casinA＝57×32＝5314.法二：(A的求法同法一)cosC＝a2＋b2－c22ab＝72＋32－522×7×3＝1114，∴C为锐角．sinC＝1－cos2C＝1－11142＝5314.【点评】在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理．自我挑战2在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43，求∠A，∠B，∠C.解：由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝6＋232＋432－2622×6＋23×43＝36＋243＋12＋48－24483＋48＝72＋243483＋48＝3＋323＋2＝32.因为0°＜∠A＜180°，所以∠A＝30°.cosC＝a2＋b2－c22ab＝262＋6＋232－4322×26×6＋23＝24＋36＋243＋12－48246＋242＝22.因为0°＜∠C＜180°，所以∠C＝45°.因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠B＝180°－45°－30°＝105°.三角形中边角取值范围问题例3在△ABC中，边a＝1，b＝2，求A的取值范围．【分析】根据题意可联想到运用余弦定理，将已知条件代入余弦定理得到关于第三边的一元二次方程，令其判别式不小于0即可求解．【解】将a＝1，b＝2代入a2＝b2＋c2－2bccosA，整理得c2－4ccosA＋3＝0，因为关于c的方程有实数解，所以Δ＝16cos2A－12≥0，解得cosA≥32，或cosA≤－32.但由于a＜b，所以A为锐角，只有cosA≥32，故A的取值范围是(0，π6]．【点评】本题除了根据余弦定理求解，还可以根据正弦定理转化为由B的范围求A的范围，方法也很巧妙，你不妨一试．解：易知a0a＋a＋1a＋2，即a1，又三角形为钝角三角形，设最大边a＋2所对应角为α，自我挑战3钝角三角形的三边长分别为a，a＋1，a＋2，其最大内角不超过120°，求a的取值范围．则－12≤cosα0，由余弦定理得cosα＝a2＋a＋12－a＋222·aa＋1＝a－32a，∴－12≤a－32a0，解得32≤a3.如图，有两条相交在60°的直线xx′与yy′，交点是O，甲、乙分别在Ox、Oy上A、B处，起初甲离O点3km，乙离O点1km，后来两人同时用每小时4km的速度，甲沿xx′的方向，乙沿y′y的方向步行．余弦定理的实际应用例4(1)起初两人相距多远？(2)用含t的式子表示t小时后两人之间的距离；(3)求出发后何时两人相距最近？【分析】利用余弦定理可求得甲乙间的距离．【解】在△AOB中，由余弦定理得|AB|2＝|OA|2＋|OB|2－2·|OA|·|OB|·cos60°＝32＋12－2×3×1×cos60°＝7.∴|AB|＝7km.即起初两人相距7km.(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，则|AP|＝4t，|BQ|＝4t.若0≤4t≤3，即0≤t≤34(点P在OA之间)时，|OP|＝3－4t，|OQ|＝1＋4t，从而|PQ|2＝(3－4t)2＋(1＋4t)2－2(3－4t)(1＋4t)cos60°；若4t＞3，即t＞34(点P在点O左边)时，|OP|＝4t－3，|OQ|＝1＋4t，∠POQ＝180°－60°＝120°，从而|PQ|2＝(4t－3)2＋(1＋4t)2－2(4t－3)(1＋4t)·cos120°.注意到上述两个式子实际上是统一的，所以|PQ|2＝48t2－24t＋7，∴|PQ|＝48t2－24t＋7，即t小时后两人相距48t2－24t＋7km.(3)由(2)得|PQ|＝48t－142＋4，∴当t＝14小时，即在第15分钟时，|PQ|最小，此时两人相距最近，最近距离为2km.【点评】(1)本题难点在于甲乙两人前进的方向与点O的关系，甲在点O的左边还是右边所用图形是不一样的，从而引起了讨论．因此，在解应用题时，一定要仔细动脑分析题意，不要盲目地画出图形了事．(2)求起初两人的距离就是已知两边和它们的夹角求第三边的问题．解答第(2)问，要注意两人行走的位置变化，夹角不同，要讨论．自我挑战4据气象台预报，距S岛300km的A处有一台风中心形成，并以每小时30km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270km以内的地区将受到台风的影响．问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．解：设台风中心经过t小时到达B点，由题意，∠SAB＝90°－30°＝60°，在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，由余弦定理得：SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos∠SAB＝3002＋(30t)2－2·300·30tcos60°.若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|≤270,即SB2≤2702，化简整理得，t2－10t＋19≤0，解之得，5－6≤t≤5＋6，所以从现在起，经过(5－6)小时S岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束．持续时间：(5＋6)－(5－6)＝26(小时)．所以S岛受到台风影响，从现在起，经过(5－6)小时，台风开始影响S岛，且持续时间为26小时．