【2012优化方案】数学 必修2 第二章2.1.5知能优化训练

1．已知点A(1,2)，B(a,6)，且AB＝5，则a的值为________．解析：由两点间的距离公式得：AB＝a－12＋6－22＝5，即(a－1)2＋16＝25解得a＝－2或a＝4.答案：－2或42．已知点P(x,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且PQ＝PM，则x＝________.解析：∵PQ＝－2－x2＋－3－22＝x＋22＋25，PM＝x－12＋1，又∵PQ＝PM，∴x＋22＋25＝x－12＋1，解得x＝－92.答案：－923．已知A(m,1)关于M(3,0)的对称点是(－1，n)，则m，n的值分别为________．解析：由中点坐标公式，有m－12＝31＋n2＝0，解得m＝7n＝－1.答案：7，－14．与A(－2,2)，B(2,4)两点等距离，且在x轴上的点的坐标是________．解析：设所求点的坐标为(a,0)，则(a＋2)2＋(－2)2＝(a－2)2＋(－4)2，解得a＝32.答案：(32，0)1．若y轴上一点P与点(3，－1)的距离等于5，则P点的坐标为________．解析：设P(0，y)，则－32＋y＋12＝5，解得y＝3或y＝－5，故点P的坐标为(0,3)或(0，－5)答案：(0,3)或(0，－5)2．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线方程是________．解析：∵kAB＝2－11－3＝－12，AB的中垂线的斜率为2，∴AB中点为(1＋32，1＋22)，即(2，32)，故线段AB的垂直平分线方程是y－32＝2(x－2)，即4x－2y＝5.答案：4x－2y＝53．(2011年徐州质检)x轴上任一点到定点(0,2)，(1,1)距离之和的最小值是________．解析：点(1,1)关于x轴的对称点坐标为(1，－1)，要求的最小值为1－02＋－1－22＝10.答案：104．已知A(1,2)，B(－1,1)，C(0，－1)，D(2,0)，则四边形ABCD的形状为________．解析：由kAB＝12，kCD＝12，kBC＝－2，kAD＝－2得AB∥CD，BC∥AD，AB⊥BC，ABCD为矩形，又AB＝1＋12＋2－12＝5，BC＝－1－02＋1＋12＝5，∴AB＝BC，故ABCD为正方形．答案：正方形5．在已知直线2x－y＝0上求一点P，使它到点M(5,8)的距离为5，则P点的坐标为________，直线PM的方程为________．解析：∵点P在直线2x－y＝0上，∴可设P(a,2a)，根据两点间的距离公式得PM2＝(a－5)2＋(2a－8)2＝52，即5a2－42a＋64＝0.解得a＝2或a＝325，∴P(2,4)或325，645，∴直线PM的方程为y－84－8＝x－52－5或y－8645－8＝x－5325－5，即4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0.答案：(2,4)或325，6454x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝06．直线l1：x－y＋1＝0关于点P(1,1)对称的直线l2的方程为________．解析：因为点P不在直线l1上，所以l2∥l1，设l2的方程为x－y＋c＝0，在l1上取点A(－1,0)，则A关于点P的对称点A′(3,2)在直线l2上，所以3－2＋c＝0，即c＝－1，所以l2的方程为x－y－1＝0.答案：x－y－1＝07．直线2x－y＋3＝0关于直线y＝x＋2对称的直线方程是________．解析：设(x′，y′)为直线2x－y＋3＝0上任一点，关于y＝x＋2的对称点为(x，y)，则由条件得y′＝x＋2x′＝y－2，代入2x－y＋3＝0，得2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.答案：x－2y＋3＝08．直线l与y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点为(1，－1)，则直线l的斜率为________．解析：设l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立方程组，解得P2＋kk，1，Q6－k1－k，6k－11－k，因此，1＋6k－11－k＝－2，∴k＝－23.答案：－239．光线从点A(－3,5)出发，经x轴反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离为________．解析：利用光学原理，求出点B(2,10)关于x轴的对称点B′(2，－10)．根据两点间的距离公式，得AB′＝－3－22＋5＋102＝510.答案：510二、解答题10．已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点，使PA＝PB，并求PA的值．解：法一：设所求点P(x,0)，由PA＝PB得x＋12＋0－22＝x－22＋0－72，于是有x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以所求点P(1,0)且PA＝1＋12＋0－22＝22.法二：由已知得，线段AB的中点为M12，2＋72，直线AB的斜率为k＝7－23，线段AB的垂直平分线的方程是y－2＋72＝32－7·x－12.在上述式子中，令y＝0，解得x＝1.所以所求点P的坐标为(1,0)，因此PA＝1＋12＋0－22＝22.11．已知过点P(0,1)的直线l和两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0相交于两点，点P(0,1)恰好是两交点的中点，求直线l的方程．解：设l与l1、l2的交点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．∵A为l1上的点，B为l2上的点，∴x1－3y1＋10＝0,2x2＋y2－8＝0.∵AB的中点为P(0,1)，∴x1＋x2＝0，y1＋y2＝2.∴x2＝－x1，y2＝2－y1.∴x1－3y1＋10＝0，2x1＋y1＋6＝0，∴x1＝－4，y1＝2.∴x2＝4，y2＝0.∴A(－4,2)、B(4,0)．∴直线l的方程为y－0＝2－0－4－4(x－4)，即x＋4y－4＝0.12．已知，点M(3,5)，在直线x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．解：如图，可求得点M关于l的对称点为M1(5,1)，点M关于y轴的对称点为M2(－3,5)，则△MPQ的周长就是M2Q＋QP＋PM1，连结M2M1，则直线M2M1与y轴及直线x－2y＋2＝0的交点Q、P即为所求．直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0，直线M1M2与y轴的交点坐标为Q(0，72)，由方程组x－2y＋2＝0，x＋2y－7＝0，得交点P(52，94)，∴点P(52，94)、Q(0，72)即为所求．