6立体的投影以及求截交线相贯线

15立体25.1立体的投影5.2平面与立体相交内容5.4立体与立体相交35.1立体的投影单一的几何体称为基本体。如：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球、环等。它们是构成形体的基本单元，在几何造型中又称为基本体素。1.基本概念4基本体的分类表面仅由平面围成的基本体平面体表面包含曲面的基本体曲面体构成基本体的所有表面以及形成该形体的特征线（轴线）投影的总和基本体的投影5平面体棱柱侧棱面底面棱线底边棱柱的棱线相互平行形成由多边形沿直线拉伸而成LmLm—直棱柱Lm—斜棱柱2.基本体的投影6VWH棱柱的投影长高宽宽H、V投影—长相等（对正）V、W投影—高相等（平齐）H、W投影—宽相等“三等”关系7在棱柱表面取点例：棱柱表面上一点A，已知a′，求a、a注意分析点所在表面的位置a'aaA基本方法面内取点方法8棱锥锥顶棱锥的棱线相交于锥顶侧棱面底面棱线底边形成由多边形沿直线拉伸而成。但拉伸过程中多边形大小均匀变化Lm9VWH棱锥的投影sabca'c'b's'ba(c)sSABC10SABC在棱锥表面取点取线例棱锥表面的折线MNK(m'n'k'),求另二投影。如何在平面上取点？Km'(k)nsaca'c'b's'ba(c)sbMN分析MSANSBKSBCn'k'mmnk连线注意分析点、直线所在表面的可见性11OO曲面体（回转体）圆柱体形成轴线底面圆柱面圆沿与其垂直的直线拉伸形成矩形绕其边旋转形成L圆柱面的形成轴线母线素线12VWHOO圆柱体的投影对V面的外形轮廓线对W面的外形轮廓线外形轮廓线投影的对应关系圆柱面投影可见性判断13VWHOO圆柱体表面取点取线例圆柱体表面一点M，已知m′求m，mMm'mm()14例AC位于圆柱体表面，已知a'c'，求ac、a''c''a'(c')分析a'c'不平行轴线故AC为曲线作图①找特殊点②求H投影③求W投影④光滑连接曲线b'd'acbdb''(d'')a''(c'')外形轮廓线上的点是曲线投影的虚、实分界点15圆锥体形成S底面圆锥面锥顶轴线直角三角形绕其直角边旋转而成L圆沿与其垂直的直线拉伸形成。拉伸过程中其直径均匀变化圆锥面的形成过圆锥面上任一点可作一条直线通过锥顶、亦可在圆锥面上作一圆16VWH圆锥体的投影Ss's对V面的外形轮廓线对W面的外形轮廓线外形轮廓线投影的对应关系圆锥面投影可见性判断s17VWHs'ss圆锥体表面取点取线例圆锥体表面一点M，已知m，求m′，mSMmm'()m如何在曲面内取点？辅助线如何作？作直素线作水平圆18s'ss例ABC位于圆锥体表面，已知V投影，求H、W投影a'b'(c')分析ABC不通过锥顶，故为曲线作图①找特殊点②求H、W面投影③光滑连接曲线d'(e')acbde(a)bcde19圆球OO轴线圆球表面无直线！形成圆绕其直径旋转而成球面圆球面的形成20VW圆球的投影a'bcOO外形轮廓线投影的对应关系球面投影可见性判断21点N在球面的一水平圆上n'nn圆球表面取点取线OON()例圆球表面一点N，已知n′，求n，n22圆环形成圆绕与其共面、但不通过圆心的轴线旋转而成轴线圆环面圆环面的形成23VWH圆环的投影赤道圆喉圆母线圆圆心轨迹内环面外环面24圆环表面取点取线a(b)例圆环表面点A、B，已知H投影，求V、W投影a'()a()(b')(b)分析过圆环表面任一点均可作一垂直于轴线的圆作图点A在内环面的上半部点B在外环面的下半部注意判断可见性25平面基本体截交线平面体本节重点：截交线求法回转体5.2平面与立体相交截平面共有线26截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。截平面——用以截切物体的平面。截交线——截平面与物体表面的交线。截断面——因截平面的截切，在物体上形成的平面。1.平面与平面体相交27截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截切位置。平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每条边是截平面与棱面的交线。求截交线的实质是求两平面的交线平面立体截交线的性质：共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。28求截交线的步骤：☆截平面与体的相对位置☆截平面与投影面的相对位置确定截交线的投影特性确定截交线的形状★空间及投影分析★画出截交线的投影分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。★补全视图，判断可见性29例1ABCP求截交线并完成截头三棱锥的三投影先求棱锥侧投影求截交线acbacba'b'c'截交线求法截平面棱线=交点截平面棱面=交线棱线法棱面法1.平面与平面体相交30例2四棱柱被P、Q截切，求侧投影P为正垂面，p、p为类似图形p为四边形投影分析Q为铅垂面，q、q'为类似图形q为五边形PQ按“三等”关系作图p'pqq'pq12341'4'3412求p求q5'6'7'5(6)(7)567（2'）（3'）类似图形“三等”关系检查31例2求带切口三棱锥的投影s'ssb'c'cbaa'bca1yyyy1444'233'2'1'32解题步骤1分析截交线的正面投影已知，水平投影和侧面投影未知；2求出截交线上的折点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；4整理轮廓线。32例3求立体截切后的投影23541116654326ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4（5）2（3）33截交线的性质：截交线是截平面与曲面体表面的共有线。截交线的形状取决于曲面体表面的形状及截平面与曲面体轴线的相对位置。截交线都是封闭的平面图形。2.平面与曲面体相交34求平面与曲面体的截交线的一般步骤：⒈空间及投影分析☆分析曲面体的形状及截平面与曲面体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。☆分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。⒉画出截交线的投影当截交线投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。☆先找特殊点，补充中间点。35平面与圆柱体相交P轴线截交线为圆P//轴线截交线为矩形P轴线截交线为椭圆PPP2.平面与曲面体相交36例求圆柱体被平面P、Q截切后的投影PQ截交线分析P//圆柱体轴线，P圆柱面交线为直线Q圆柱体轴线，Q圆柱面交线为椭圆曲线非圆曲线画法找特殊点中间点光滑连接曲线检查外形轮廓线投影p'q'37若增加圆柱孔结果将如何？内、外交线分别求解求外表面交线求内表面交线检查孔的外形轮廓线投影注意检查孔的外形轮廓线投影截平面与孔的交线检查交线无线!38平面与圆锥体相交PP轴线交线为圆PP轴线交线为椭圆平面P与圆锥面的交线39P轴线=交线为抛物线PPP轴线0交线为双曲线平面P与圆锥面的交线40平面P与圆锥面的交线PP过锥顶交线为直线P轴线交线为椭圆P轴线P轴线=P轴线0交线为抛物线交线为双曲线P过锥顶交线为直线交线为圆归纳41例求截交线截交线分析截交线为椭圆椭圆画法是什么点？椭圆短轴的投影截交线投影分析特殊点中间点光滑连接曲线交线可见性PP截交线投影仍为椭圆检查外形轮廓线投影外形轮廓线终止点截交线投影虚实分界点42综合举例求作水平投影p'q'pq双曲线PQ求与大圆柱的交线求与小圆柱的交线求与圆锥的交线加深43平面与球体相交平面与圆球体相交其截交线均为圆例PQP面交线的H投影为圆弧曲线投影分析Q面交线的W投影为圆弧曲线44小结基本体的投影注意:曲面体（回转体）重要的投影规律—“三等”规律—外形轮廓线投影的对应关系整体、局部45求截交线的本质—求截平面与立体的共有点立体的形状截平面相对于立体的位置截交线的形状取决于截交线投影的形状取决于截平面相对于投影面的位置46求截交线的基本方法步骤定性分析截交线的形状分析与投影分析截交线画法平面体棱线法回转体非圆曲线找特殊点找中间点光滑连线并判断可见性47回转体外形轮廓线投影的检查检查方法类似图形检查“三等”关系检查孔的交线问题495.4立体与立体相交——求相贯线两立体表面相交时，它们表面的交线称为相贯线。立体与立体相交可分为三种情况：☆两平面立体相交。☆平面立体与曲面立体相交。☆两曲面立体相交。50封闭的空间折线或平面多边形。折线的转折点就是一个形体的侧棱与另一形体的侧面的交点。平面立体与平面立体相交相贯线的性质作图方法求各侧棱对另一形体表面的交点，然后按顺序依次连接成封闭的相贯线，整理视图，并判断可见性。51例1两平面立体相贯，完成相贯线的投影s'ssb'c'cbaa'bca1yyyy1444'23(3‘)2'1'3252例2两平面立体相贯，完成相贯线的投影1233'1'2'456785'4'53例3求两平面立体的相贯线13526411'2'6'24（4'）(3')(5')3(5)(6)54平面体与曲面体相交相贯线的性质作图方法由数段平面曲线（截交线）组合而成的封闭空间曲线；☆形体分析☆求平面立体的各棱面与曲面立体的截交线。☆将各段截交线连接成封闭的相贯线，并判断可见性。☆整理视图。55例4：求半球与四棱柱的相贯线。14321'(2')4'(3')124356曲面体与曲面体相交相贯线的性质作图方法封闭的空间曲线；特殊情况下是平面曲线或直线。☆形体分析☆在相贯线的积聚投影上找特殊点和一般点。☆顺次光滑连接各点，并判别可见性。☆整理视图。57例5圆柱与圆柱相交方法1：利用积聚性投影用面上取点的方法求解求V面投影H、W投影已知交线分析封闭的空间曲线投影分析投影作图找特殊点找中间点判别可见性光滑连线58光滑空间曲线交线分析例8圆柱与圆锥相交投影分析找中间点PW光滑连接曲线P圆锥=圆圆直线=交线上的点W面投影已知求V、H面投影投影作图找特殊点P圆柱面=直线方法2:辅助平面法—利用“三面共点”的原理辅助面辅助面与二回转体表面交线的投影为直线或圆选择原则59归纳1.求交线的基本方法利用积聚性投影用面上取点的方法求解辅助面法辅助平面法辅助球面法利用“三面共点”的原理辅助面选择原则辅助面与二回转面交线的投影为直线或圆在何处作辅助面二回转面的共有部分—交线共有60两曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线，但特殊情况下可能是平面曲线或直线。相贯线的特殊情况611、已知直线MN与三角形ABC平面平行,试完成三角形ABC的水平投影622、已知立体的正面投影，完成水平投影和侧面投影