怎样利用割补法解立体几何中的问题

卫福山（上海市松江二中）1、用割补法求体积2、用补形法求二面角3、用补形法求异面直线所成角二、用割补法解决立体几何中的几类问题一、引言BCADEF如图：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5.求：此几何体的体积？用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱。BCADEF分析：∴V几何体=V三棱柱21BCADEFMN用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.如图：取CM=AN=BD,连结DM,MN,DN.分析：∴V几何体=V三棱柱+V四棱锥如图：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5。求：此几何体的体积？例1.如图:斜三棱柱的一个侧面ABB1A1的面积为S，侧棱CC1到这个侧面的距离为h.求：斜三棱柱的体积.C1B1A1ABCO如图所示：将左图补成一个斜四棱柱（平行六面体）则V四棱柱＝S×h∴V三棱柱＝s×h21B1C1A1ABCOAD1CDA1BC1B1例2.如图：在棱长为a的正方体ABCD--A1B1C1D1中取点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体，求：此多面体的体积.a3322)a233()a2(h2解一：32a31a332)a2(4331hS31V正四面体A1BDC10E正方体的棱长为a，此多面体为正四面体，其棱长为√2a例2.如图：在棱长为a的正方体ABCD--A1B1C1D1中取点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体，求：此多面体的体积.三棱锥正方体正四面体V4VV33a614a3a31解二：用分割法AD1CDA1BC1B1例3.如图：已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中,棱长为a,M、N分别为CC1、AA1的中点,求：四棱锥A－MB1ND的体积VA－DMN=VM－ADN底面积：4a2aa21S2ADN高：为点M到平面ADN的距离h=a∴V四棱锥=2VA－DMN=3a6132a121a4a31∴VA－DMN解(简):AD1CDA1BC1B1MNAD1CDA1BC1B1NM例4.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，如果AB=PA。求：平面ABP与平面CDP所成的二面角的大小.PDACBACDBPB1如图所示、将左图补成一个正方体.∴平面ABP即为平面ABB1P所在平面∴平面PDC即为平面PDCB1所在平面∴所求二面角即为正方体的对角面PDCB1与侧面ABB1P所成角即：∠CB1B=4解：例5.如图：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90。，BC=5，AC=9，CC1=12求：CB1与AC1所成的角的大小ABCA1C1B1A2B2C2如图,补一个相同的直三棱柱,连结C1B2，AB2，则CB1∥C1B2∴∠AC1B2（或其补角）就是AC1和CB1所成的角。在△AC1B2中，有余弦定理得：06548BCAC2ABBCACBACcos211222212121∴AC1和B1C所成的角为∠AC1B2的补角.其值为：6548arccos可得：AC1=15，C1B2=13，AB2=√6821、在四面体ABCD中，AB=AC=DB=DC=10，BC=AD=12，求：四面体ABCD的体积.2、如图：正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.求：侧面PAB与PCD所成的二面角的大小.3、如图：在正方体AC1中，E为B1C1的中点，求：异面直线A1C和BE所成的角的大小.AD1CDA1BC1B1EDBACpABCD练习：（第1题）（第3题）（第2题）1、在四面体ABCD中，AB=AC=DB=DC=10，BC=AD=12，求：四面体ABCD的体积.取BC的中点E，则AE⊥BC，DE⊥BC.ECS31BES31ADEADE748ABCDEV四面体=VB－ADE+VC－ADEBCS31ADE2、如图：正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3。求：侧面PAB与PCD所成的二面角.DBACpACDBpMND1A1B1C13、如图：在正方体AC1中，E为B1C1的中点，求：异面直线A1C和BE所成的角.如图，补一个正方体，取C1F的中点E1，则BE∥CE1∴∠A1CE1（或其补角）为A1C与BE所成的角.在△A1CE1中，有余弦定理得：01515CACE2EACACECEAcos11211212111∴A1C和BE所成的角即为∠A1CE1，其值为1515arccosAD1CDA1BC1B1FEa3CA1a25CE1a213EA11可得：E1解:复杂的几何体都是由简单几何体组成，在求体积时，注意利用分割的思想。另外，应注意改变对几何体的观察角度，以得到最佳求积法.在立体几何中利用补形的方法可以既简单又巧妙地解决很多问题.割补法是重要的数学方法之一.小结注意！AD1CDA1BC1B1NM例3.如图：已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中,棱长为a,M、N分别为AA1、CC1的中点,求：四棱锥A－MB1ND的体积四棱锥A－MB1ND的底面为菱形，高：A到底面的距离为多少？连接MN，把四棱锥分割成两个三棱锥∵MB1ND为菱形，∴SΔB1MN=SΔDMN∴VA－B1MN=VA－DMN∴V四棱锥=2VA－DMN分析：分割：AD1CDA1BC1B1NM∵高相等如图：在正方体AC1中，棱长为a，有一截面，其中M、N分别为AD、CD的中点，求：截面分正方体所成大小两部分的体积之比。AD1CDA1BC1B1MN思考：A1ACB1D1BC1DA1BDC1