15-压杆稳定

第十五章压杆稳定问题§15－1稳定性概念一、平衡的稳定性问题以前各章，所研究的构件都是处于稳定平衡的情况，随着载荷的增大，构件的受载形式不会发生突然的变化。实际工程中，有另外一类问题，当载荷增大到某一程度时，构件的受载形式会发生突然的变化。例如，受轴向拉伸的细长直杆，力的作用线与杆的轴线相重合，一直到杆被拉断，这一特性不会改变。例如，受轴向压缩的细长直杆的破坏情况与该杆受轴向拉伸时将完全不同。存在着平衡的稳定性问题。工程实例工程实例实例观察二、压杆失稳以及临界载荷crFcrFF当时，压杆仍能够保持直线平衡状态。（在扰动作用下，杆件发生微弯曲，扰动除去后，能够恢复到直线平衡）crFF当时，压杆将不能够保持直线平衡状态，将发生明显的弯曲变形，压杆失稳。crFF当时，压杆将能够保持微弯随遇平衡状态。临界载荷crFBAFF§15－2临界载荷的欧拉公式O、临界载荷的定义crF压杆在微弯状态下，能够保持随遇平衡的最小轴向力。一、两端铰支细长压杆的临界载荷ABFFABFFxyxw压杆AB处于微弯随遇平衡状态，假设：p弯曲挠曲线方程为:EIxMdxwd22ABFFxyxwEIxMdxwd22wFxM近似挠曲线方程为:022wEIFdxwd令:EIFk2上式变为:0222wkdxwd方程的通解为:kxBkxAwcossin式中:A、B为积分常数0222wkdxwd方程的通解求解过程：令:xcew代入方程，得到：022xxcekec022kikikxikxececw21得到：2221ikxikxikxikxeeDeeD注意到：kxikxeikxsincoskxikxeikxsincos2cosikxikxeekx2sinikxikxeekx最后解得：kxBkxAwcossin方程的通解为:kxBkxAwcossinABFFxyxw代入边界条件:00wxkxAwBsin,0代入边界条件:0wlx0sinklA),2,1,0(nnkl得到:lnkEIFk代入:222lEInF解得：ABFFxyxw222lEInF临界载荷的定义为：压杆在微弯状态下，能够保持随遇平衡的最小轴向力。crF,0n,0F不合题意,1时当nF将取最小值。压杆失稳的临界载荷为：crF22lEIFcr欧拉公式22lEIFcr讨论：,1得到的是由nxlAwsinklAlnksinw:和由压杆失稳时，杆的挠曲线为：xlAwsinxlAwsinABFFxyA为压杆中点的桡度。AxlAwsin压杆失稳时的挠曲线为：A为压杆中点的桡度。maxwA令：xyABFFδOδcrF22lEIFcr由欧拉公式可知，欧拉公式在图中可用直线①表示。建立坐标系如图：①crF如果使用精确的挠曲线方程，结果可用曲线②表示。②对于实际压杆，难免有压力偏心，初始弯曲等缺陷，实际失稳曲线将为曲线③。③例题杆的长度l=30cm，横截面的h=1.0cm，b=0.1cm材料的MPaGPaEb400,200比较该杆的crbFP和解：661011010400APbN400022lEIFcr2123923.01011012110200N18细长压杆的失稳临界载荷远小于其拉伸破坏载荷。二、两端非铰支细长压杆的临界载荷支承条件两端铰支一端自由一端固定一端铰支一端固定两端固定简图FlFlFlFlcrF22lEI222lEI227.0lEI225.0lEI长度因数μ127.05.0支承条件两端铰支一端自由一端固定一端铰支一端固定两端固定简图FlFlFlFlcrF22lEI222lEI227.0lEI225.0lEI长度因数μ127.05.0临界载荷的计算公式可统一写为：22lEIFcrμ长度因数μl相当长度2lllFlFlFll7.0Fl两端铰支一端自由一端固定一端铰支一端固定两端固定相当长度的说明：bhxyz例题：GPaE200图示矩形截面细长杆，在xy平面内可视为两端铰支，在xz平面内可视为两端固定，材料为普通碳钢mlmmhmmb2.13020求：失稳临界载荷crFl（1）在xy平面失稳zII12310302012148105.4m1（两端铰支）22lEIFcr28922.11105.410200kN7.61（2）在xz平面失稳yII5.0（两端固定）22lEIFcr28922.15.0100.21020028123102102030121mkN110xyz取两者中的小值kNFcr7.61§15－3中、小柔度杆的临界应力一、临界应力与柔度临界应力crAFcrcr：压杆处于失稳临界状态时横截面上的应力AlEIcr22注意到：2iAI式中，i为横截面的惯性半径。22ilEcr令：il22Ecril压杆的柔度（压杆的长细比）柔度λ的性质：（1）λ是无量纲量。（2）λ是压杆本身的几何性质，与压杆的受载情况、材料情况无关。（3）λ反映了压杆长度、杆端约束、截面形状的影响。l杆件愈长，柔度愈大。i杆件愈细，柔度愈大。杆端的约束愈弱，柔度愈大。22Ecr临界应力cr一定材料的压杆失稳时的临界应力仅取决于该杆的柔度，杆的柔度愈大，临界应力愈小。il压杆的柔度压杆的柔度λ是压杆本身的几何性质，综合反映了压杆长度、杆端约束、截面形状的影响。与压杆的受载情况、材料情况无关。二、欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围为：pcr代入临界应力计算公式，得到：pcrE22得到：pE2令：ppE2欧拉公式的适用范围为：pppE2欧拉公式的适用范围为：pil为压杆的柔度柔度λ是压杆本身的几何性质，与压杆的材料无关。是压杆本身材料的性质，与压杆的几何性质无关。pp的杆件称为大柔度杆（细长压杆）。结论：只有对大柔度杆才能使用欧拉公式计算压杆的临界压力和临界应力。对于Q235普通碳钢MPaGPaEp200,2061001020010206692p对于Q235普通碳钢，只有在时才能使用欧拉公式。100对于高强度铝合金MPaGPaEp175,708.62101751070692p对于该铝合金，只有在时才能使用欧拉公式。8.62三、中柔度杆的临界应力当压杆的柔度λ小于λ1时，欧拉公式不能适用，但仍然存在失稳问题。中柔度杆：，但仍有可能失稳的杆。1对于中柔度杆尚无令人满意的理论公式，工程中常用经验公式，最常用的为直线公式：bacra，b均为材料常数，（见书中p301，表9-2）四、小柔度杆当压杆的柔度λ继续减小时，即杆件愈来愈短，愈来愈粗，大柔度杆中柔度杆cr当)()(b对于脆性材料对于塑性材料crscr界限值的大小为：00basbas0杆件将不会发生失稳，将发生强度破坏小柔度杆。小柔度杆p0p0crp0大柔度杆22Ecr中柔度杆bacr小柔度杆SScr五、临界应力总图综上所述：大柔度杆p欧拉公式中柔度杆p0直线公式小柔度杆0强度公式ppE2baS0crp0大柔度杆22Ecr中柔度杆bacr小柔度杆SScrppE2baS0计算压杆的临界压力的过程如下：1、计算压杆的柔度il2、计算材料的0,p3、根据临界应力总图，选择合适的临界应力计算公式4、计算压杆的临界压力AFcrcr§15－4压杆稳定条件与合理设计对于各种柔度的压杆均可用前述方法求出的临界载荷crFstcrnFF若压杆的最大工作载荷为F，则有载荷条件压杆的稳定性许用应力条件为：stn工程中规定了压杆的稳定安全系数][ststcrn例题：两端铰支活塞杆由45钢制成，长度l=703mm，直径d=45mm。材料的MPaMPaGPaEsp350,280,210杆件的最大工作压力kNF6.41max10~8stn压杆的稳定安全系数要求校核该杆的稳定性解：1、计算压杆的柔度il对于圆形截面446424dddAIi5.6241045703.00.13il对于圆形截面4di5.62il1、计算压杆的柔度il2、计算材料的21,8610280102106922ppE2.4310568.210350461660baSp不能采用欧拉公式p0应当采用直线公式5.62il3、根据临界应力总图，选择合适的临界应力计算公式p0应当采用直线公式5.62568.2461bacrMPa3014、计算压杆的临界压力6261045410301AFcrcrkN4785、计算压杆的工作安全系数，校核稳定性条件stcrnFFn5.116.41478max杆件满足稳定性要求例题：活塞杆由45钢制成，材料的MPabMPaaMPaMPaGPaEsp12.1,304235,200,200杆件的最大工作压力kNF4max8stn压杆的稳定安全系数要求校核该杆在下列情况的稳定性（1）两端铰支（2）一端固定，一端自由（3）两端固定Flbhmmhmmbmml20123005.1n压杆的强度安全系数解：1、计算材料的21,69221020010200ppE1006601012.110235304baS6.61已知活塞杆由45钢制成，材料的MPabMPaaMPaMPaGPaEsp12.1,304235,200,200121241223minbbbhhbAIiFlbhmmhmmbmml20123001210123m31046.32、计算压杆的横截面惯性矩Flbhmmhmmbmml2012300（1）两端铰支mI3min1046.310016.612压杆的柔度6.861046.33.00.13ilp0应当采用直线公式6610122010207AFcrcr6.8612.1304bacrMPa207kN7.49stcrnFFn4.1247.49max满足稳定性要求mI3min1046.3100p6.610杆的柔度2.1731046.33.00.23ilp应当采用欧拉公式66101220108.65AFcrcrkN8.15stcrnFFn95.348.15max不能满足稳定性要求（2）一端固定，一端自由bhmmhmmbmml2012300Fl22Ecr2922.17310200MPa8.65mI3min1046.3100p6.610杆的柔度3.431046.33.05.03il0应当按照强度条件计算MPanS1575.1235杆件满足强度要求（3）两端固定63102012104AFbhmmhmmbmml2012300FlMPa7.16