演绎完美――数学与音乐的巧妙结合1

xx大学毕业设计（论文）题目：演绎完美——数学与音乐的巧妙结合指导教师：职称：学生姓名：学号：专业：院（系）：完成时间：年月日1演绎完美——数学与音乐的巧妙结合摘要主要介绍了音乐与数学之间的联系、数学知识在音乐中的应用。包括：音乐理论中的数学推导，乐谱书写时的数学知识，音乐中出现的的数学变换、比例、黄金分割和数列等知识。结合物理声波的叠加原理，揭示了乐器制造中的一些数学计算过程和计算方法。讲述了一些数学家与音乐的故事，以及音乐家在作曲时对数学知识的应用，让我们对数学与音乐的结合有一个全新的理解。通过研究会发现，音乐和数学之间的联系并不是偶然而是很自然的结合。这是一种感性与理性的完美结合，一种美与另一种美之间的融通！关键词乐理、乐律、乐器、数学原理2Deductionperfect—uniquecombinationofmathematicsandmusicAbstractThispapermainlyintroducestherelationshipbetweenmusicandmathematicsandtheapplicationofmathematicstomusic.Theapplicationincludes:usingmathematicstoanalyzesometheoriesonmusic;mathematicalknowledgerequiredtocomposeaconcerto;andmathematicaltransformations,goldenrationandnumericalsequenceandthelike.Thispaperalsotellssomestoriesaboutmathematicianswhohaveaspecialinterestinmusic.What'smore,inordertocomposeapieceofmusicinanelegentway,someworld-classmusiciansalwayshavetohaveaunderstandingonmathematics.Thestoriesofmathematiciansandmusiciansmentionedabove,wouldofferusabrandnewinsightintothecloselinkbetweenmusicandmathematics.Inaword,thisisaperfectcombinationofsensitivityandrationalityandoftwodifferentkindsofetherealbeauties!KeywordsMusicTheory,Temperament,MusicalInstruments,PrincipiaMathematica3目录中英文摘要及关键词··················································（1）1引言·······················································（3）2基础乐理与数学··················································（3）3数学知识在音乐中的综合应用···············································（9）4乐器制作中的数学原理···················································（13）5数学家与音乐···························································（17）6结论···························································（18）致谢··································································（19）参考文献·····························································（19）41引言2500年前的一天，古希腊哲学家毕达哥拉斯外出散步，经过一家铁匠铺，发现里面传出的打铁声响，要比别的铁匠铺更加协调、悦耳。他走进铺子，量了又量铁锤和铁砧的大小,发现了一个规律，音响的和谐与发声体体积的一定比例有关。之后，他又在琴弦上做了许多试验，进一步发现只要按比例去划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程。如1:2产生八度，2:3产生五度，3:4产生四度等等。就这样，毕达哥拉斯在世界上第一次发现了音乐和数学的联系。若干世纪以来，音乐和数学一直被联系在一起。从基本的阿拉伯数字到“黄金分割”，音乐中不仅包含了数学中的“数列”、“变换”、等知识，乐谱的书写乃至乐器的制作……无不透着数学的踪影。数学家们研究音乐，音乐家也和数学密切相关。正因如此，越来越多的人开始关注音乐，研究数学与音乐的联系。了解这种关系无论是在生活中聆听音乐感受数学，还是利用数学知识制作音乐都会有意想不到的收获！音乐是一种雅俗共赏的艺术，文人雅士有文人雅士的品味，庸俗之人有庸俗之人的欣赏自由，高兴时我们可以制造音乐聆听音乐，同样悲伤时也可以；数学则是最为普遍的人类知识，是人类智慧不断的凝聚和积累，从原始时代到现在，再到是遥远的未来，数学之花只会越开越灿烂。了解和研究音乐与数学的个中关系，将会是一件非常有趣而且有用的事情。2基础乐理与数学数学是研究现实世界空间形式的数量关系的一门科学，它早已从一门计数的学问变成一门形式符号体系的学问。符号的使用使数学具有高度的抽象。而音乐则是研究现实世界音响形式及对其控制的艺术。它同样使用符号体系，是所有艺术中最抽象的艺术。数学给人的印象是单调、枯燥、冷漠，而音乐则是丰富、有趣，充溢着感情及幻想。表面看，音乐与数学是“绝缘”的，风马牛不相及，其实不然。德国著名哲学家、数学家莱布尼茨曾说过：“音乐，就它的基础来说，是数学的；就它的出现来说，是直觉的。”而爱因斯坦说得更为风趣：“我们这个世界可以由音乐的音符组成也可以由数学公式组成。”数学是以数字为基本符号的排列组合，它是对事物在量上的抽象，并通过种种公式，揭示出客观世界的内在规律：而音乐是以音符为基本符号加以排列组合，它是对自然音响的抽象，并通过联系着这些符号的文法对它们进行组织安排，概括我们主观世界的各种活动罢了，正是在抽象这一点上将音乐与数学连结在一起，它们都是通过有限去反映和把握无限。2.1音符与数字莱布尼茨说过：“音乐是数学在灵魂中无意识的运算。”众所周知，古今中外的音乐虽然千姿百态，但都是由7个音符（音名）组成的，数字1～7在音乐中是神奇数字：5数字1音乐上许多发展乐思的手法，如重复、变奏、衍生、展开、对比等等，有时强调统一，有时强调变化，综合起来，就是在统一中求变化，在变化中求统一。单音是音乐中最小的“细胞”，一个个单音按水平方向连结成为旋律、节奏，按垂直方向纵合成为和弦，和声。乐段（一段体）是表达完整乐思的最小结构单位。数字2巴洛克、古典、浪漫派音乐使用大小调调式体系，形成音阶与和声学的二元论（dualistictheory）。数字3三个音按三度音程叠置成为各种各弦。三和弦是最常用的和声建筑材料。爱因斯坦认为不管是音乐家还是科学家都有一个强烈的愿望，“总想以最适合的方式来画出一幅简化的和易于领悟的世界图像。”数字4人声天然地划分为四个声部，任何复杂的多声部音乐作品都可以规范为四部和声。我们平时所弹奏的钢琴作品的曲式结构，大多数都是“古典四方体”方整结构，即4+4+4+4……，4小节为一乐句，8小节为一乐段。数字5五度相生律（毕达哥拉斯律）及五度循环揭示了乐音组织的奥秘，而和声五度关系法则是构筑和声大厦的基石。数字6六和弦、六声音阶、一个八度之内有六个全音，常用的调是主调及其五个近关系副调。数字7更显神秘莫测，常用的七声音阶由七个音级组成，巴洛克时期以前采用中古教会七种调式，19世纪民族乐派之后中古教会七声调式部分地得到复兴。数字0除去数字1-7之外，音乐中数字0是不可或缺的音符。在数学中，0表示什么都没有，而在音乐中，0表示停止所有的声音，给人一个想象和会问的空间，增添了抑扬顿挫的美感。所谓的“别有忧愁暗恨生，此时无声胜有声”！数字8在记谱时，为了方便同样的旋律平移8度之后来演奏，会给人耳目一新的感觉，在表6现灵动或者说低沉是不可或缺，所以不管在简谱还是五线谱中，数字8都有很广泛的应用。2.2音阶中的数学原理学习音乐总是从音阶开始，我们常见的音阶有7个基本音组成：1234567音doremifasolasi唱名CDEFGAB音名用7个音以及比它们高一个或几个八度的音，低一个或几个八度的音组成各种组合就是“曲调”。7声音阶按“高度”自低向高排列，要搞清音阶原理，知道什么是“音高”，音与音之间的“高度差”是多少。2.2.1音高振动的快慢在物理学上用频率表示，频率定义为每秒钟物体振动的次数，用每秒振动1次作为频率的单位称为赫兹。频率为261.63赫兹的音在音乐里用字母c1表示。相应地音阶表示为c,d,e,f,g,a,b在将C音唱成“do”时称为C调。频率过高或过低的声音人耳不能感知或感觉不舒服，音乐中常使用的频率范围大约是16~4000赫兹，而人声及器乐中最富于表现力的频率范围大约是60~1000赫兹。在弦乐器上拨动一根空弦，它发出某个频率的声音，如果要求你唱出这个音你怎能知道你的声带振动频率与空弦振动频率完全相等呢？这就需要“共鸣原理”：当两种振动的频率相等时合成的效果得到最大的加强而没有丝毫的减弱。因此你应当通过体验与感悟去调整你的声带振动频率使声带振动与空弦振动发生共鸣，此时声带振动频率等于空弦振动频率。人们很早就发现，一根空弦所发出的声音与同一根空弦但长度减半后发出的声音有非常和谐的效果，或者说接近于“共鸣”，后来这两个音被称为具有八度音的关系。我们可以用“如影随形”来形容一对八度音，除非两音频率完全相等的情形，八度音是在听觉和谐方面关系最密切的音。18世纪初英国数学家泰勒（Taylor，1685-1731）获得弦振动频率f的计算公式：7l表示弦的长度、T表示弦的张紧程度、ρ表示弦的密度。2.2.2高度差子假定一根空弦发出的音是do，则二分之一长度的弦发出高八度的do；8/9长度的弦发出re，64/81长度的弦发出mi，3/4长度的弦发出fa，2/3长度的弦发出so，16/27长度的弦发出la，128/243长度的弦发出si等等类推。例如高八度的so应由2/3长度的弦的一半就是1/3长度的弦发出。为了方便将c音的频率算作一个单位，高八度的c音的频率就是两个单位，而re音的频率是9/8个单位，将音名与各自的频率列成下表：表1音名CDEFGABC频率19/881/644/33/227/16243/1282知道了do,re,mi,fa,so,la,si的数字关系之后，新的问题是为什么要用具有这些频率的音来构成音阶？实际上首先更应回答的问题是为什么要用7个音来构成音阶？这可是一个千古之谜，由于无法从逝去的历史进行考证，古今中外便有各种各样的推断、臆测，例如西方文化的一种说法基于“7”这个数字的神秘色彩，认为运行于天穹的7大行星（这是在只知道有7个行星的年代）发出不同的声音组成音阶。我们将从数学上揭开谜底。我们用不同的音组合成曲调，当然要考虑这些音放在一起是不是很和谐，前面已谈到八度音是在听觉和谐效果上关系最密切的音，但是仅用八度音不能构成动听的曲调──至少它们太少了，例如在音乐频率范围内c1与c1的八度音只有如下的8个：C2（16.35赫兹）、C1（32.7赫兹）、C（65.4赫兹）、c（130.8赫兹）、c1（261.6赫兹）、c2（523.2赫兹）、c3（1046.4赫兹）、c4（2092.8赫兹），对于人声就只有C、c、c1、c2这4个音了。为了产生新的和谐音，