上海理工大学附属中学高一数学上册《基本不等式及其应用》练习-沪教版

1上海理工大学附属中学高一数学上册《基本不等式及其应用》练习沪教版2.4基本不等式及其应用1.通晓两种基本不等式的形式：○1基本不等式1：对任意实数a和b，有222abab，当且仅当ab时等号成立。○2基本不等式2：对任意正数,ab，有2abab，当且仅当ab时等号成立。2.全面理解基本不等式：○1对于基本不等式2，,abR条件可减弱为0,0ab，所以上述条件只是充分不必要条件；○2基本不等式的主体是2abab（,abR），即两正数的算术平均值不小于其几何平均值；○3基本不等式等号成立的充要条件是ab（0,0ab）；○4掌握不等式2的变形：(,)2abababR，变形得：22abab（,abR），由此可知，当积为定值，和有最小值；当和为定值，积有最大值。3.知道基本不等式还有其推广形式：○1对任意,,abcR，有33abcabc，当且仅当abc时等号成立；○2对任意12,,,naaaR，有1212nnnaaanaaa，当且仅当12naaa例1.（1）当0x，1xx的取值范围，并指出取的最小值时的x的值；（2）当0x，求42xx的最值，并指出取最值时x的值；（3）若1x，求11xx的取值范围；2（4）如果3x，求2313xxx的取值范围；例2.（1）已知,xyR，且21xy，求证：18xy，并指出等号成立的条件；（2）已知01x，求当x取何值时，(1)xx值最大；（3）已知102x，则当_________x时，3(12)xx有最大值_________；（4）当________x时，21xx有最大值___________；例3.已知,abR且1ab，求11ab的最小值；变式一：已知,abR且321ab，求11ab的最小值；变式二：已知,abR且231ab，求21ab的最小值；变式三：已知,abR且211ab，求ab的最小值；例4.对于问题“已知正数,xy满足21xy，求11xy的最小值”有如下做法：21xy且,0xy，11111(2)22242xyxyxyxyxy，3min1142xy判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确的解法。例5.下列四个命题中真命题的是（）（A）1xx的最小值为2；（B）22111xx的最小值为2；（C）22144xx的最小值为2；（D）42xx的最小值为2例6.在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上和。例7.（1）若502x，求2(52)yxx的最大值；（2）若0x，求26yxx的最小值；（3）已知命题：若Rba,，且1ba，那么411ba○1证明此命题是真命题。○2如果Rcba,,，且1cba，能得到什么结论？推广上述结论。例8.一批赈灾物资随26列货车从某地出发以v千米每小时的速度匀速直达灾区，已知两地铁路线长为400千米，为了安全起见，两列货车的间距不得小于220v千米，假设列车中4途不停车（列车长度不计），求这批物资全部运到灾区最快所需要的时间及最省时货车的速度。作业：1.求下列各式的取值范围：（1）1(1)1aaa；（2）11()212xxx；（3）233(2)2xxxx2.已知0a，当1x时，2221xxax有最小值4，求此时a及x的值。3.（1）已知正数a和b满足条件1ab，求代数式12ab的最小值。（2）设,,abu都是正实数且,ab满足191ab，求使得abu恒成立的u的取值范围。4.某工厂计划建造一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，中间有两道隔墙，如果池的外围周壁建造单价为每米400元，中间两道隔墙的造价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁厚度忽略不计，设计池的长和宽，使总造价最低，并求最低造价。