【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.1两角和与差的余弦精品课件 苏教版必修4

3．1两角和与差的三角函数3．1.1两角和与差的余弦学习目标1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程；2．掌握两角和与差的余弦公式，并能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值与恒等式的证明．课堂互动讲练课前自主学案知能优化训练3.1.1两角和与差的余弦课前自主学案温故夯基1．三角函数如图：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(1)y叫做α的正弦，记作sinα，即_________；(2)x叫做α的余弦，记作cosα，即_________；(3)yx叫做α的正切，记作_______________．sinα＝ycosα＝xtanα＝yx(x≠0)正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________________.x1x2＋y1y2知新益能1．两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式：C(α－β)：cos(α－β)＝__________________(2)两角和的余弦公式：C(α＋β)：cos(α＋β)＝__________________cosαcosβ＋sinαsinβ.cosαcosβ－sinαsinβ.2.π2±α，3π2±α的诱导公式(1)cos(π2－α)＝_____，sin(π2－α)＝______.sinαcosα(2)cos(π2＋α)＝______，sin(π2＋α)＝_____.(3)cos(3π2－α)＝______，sin(3π2－α)＝______.(4)cos(3π2＋α)＝_____，sin(3π2＋α)＝______.名称变化：正弦⇔余弦，正切⇔余切．符号变化：公式右边的函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．－sinαcosα－sinα－cosαsinα－cosα问题探究公式cos(π2－α)与cos(α－β)之间有什么关系？提示：公式cos(π2－α)＝sinα是公式cos(α－β)的特例．即cos(π2－α)＝cosπ2cosα＋sinπ2sinα＝sinα.课堂互动讲练考点突破两角和与差的余弦公式的简单应用该类问题多以填空题型出现，主要是对公式理解的考查；解决该问题应在理解的基础上记忆公式及特殊角(如30°，45°，60°)的三角函数值．例1求下列式子的值．(1)cos(－15°)；(2)cos105°.【思路点拨】观察题目中的角，发现－15°＝30°－45°，105°＝45°＋60°，即看作两个角的差或和利用公式C(α－β)，C(α＋β)求解．【解】(1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)cos105°＝cos(60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝12×22－32×22＝2－64.【名师点评】在利用两角和与差的三角函数公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°等)之间和与差的关系问题，然后利用公式化简求值．公式的逆用逆用公式时，首先要观察是否符合cosαcosβ±sinαsinβ，如果不符合，可进行适当的转化，使之符合两角和(或差)的余弦公式．求值：(1)cos43°cos77°＋sin43°cos167°；(2)sinπ12－3cosπ12.例2【思路点拨】(1)分析题目中的角，167°＝90°＋77°，(2)要联系两角和与差的余弦公式的特征进行结构调整．【解】(1)因为cos167°＝cos(90°＋77°)＝－sin77°，所以原式＝cos43°cos77°－sin43°sin77°＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝－12.(2)原式＝－232cosπ12－12sinπ12＝－2cosπ6cosπ12－sinπ6sinπ12＝－2cosπ6＋π12＝－2cosπ4＝－2.【名师点评】当所求的三角函数值为正弦和余弦函数值之积的和(差)的形式时，一般是通过变换角间关系逆用公式，也就是把所求值的三角函数式化为某两个角α，β的余弦之积与正弦之积的和(差)的形式，再逆用公式便可求其值．自我挑战1(1)已知cos(α－β)＝13，求(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2的值；(2)化简sin75°cos34°＋sin15°cos56°.解：(1)(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＋cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝2＋2cos(α－β)＝2＋2×13＝83.(2)因为sin75°＝cos15°，cos56°＝sin34°，所以sin75°cos34°＋sin15°cos56°＝cos15°cos34°＋sin15°sin34°＝cos(15°－34°)＝cos(－19°)＝cos19°.给值求值解决此类题型的关键是找出已知式和待求式在角、函数和运算上的差异，然后利用已知式适当变换待求式代入求值．(本题满分14分)已知sinθ＝－1213，θ是第三象限角，求cos(π6＋θ)的值．例3【思路点拨】由sinθ求出cosθ→两角和的余弦公式展开→代入求出【规范解答】∵sinθ＝－1213，θ是第三象限角，∴cosθ＝－1－sin2θ＝－513，10分∴cos(π6＋θ)＝cosπ6cosθ－sinπ6sinθ＝32cosθ－12sinθ＝32×(－513)－12×(－1213)＝12－5326.14分【名师点评】已知α、β角的某种三角函数值，求α±β的余弦或正弦，先根据平方关系求出α、β的另一种三角函数值，求解过程中要注意根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后代入公式求解．解：∵sinθ＝－1213＜0，∴θ是第三或第四象限的角．(1)当θ是第三象限角时，就是本例的解答．(2)当θ是第四象限角时，cosθ＝513，∴cos(π6＋θ)＝cosπ6cosθ－sinπ6sinθ＝32×513－12×(－1213)＝12＋5326.互动探究2若去掉本例中的条件“θ是第三象限角”，问题如何解答．方法感悟1．根据两角和与差的余弦公式的特征与结构，正向展开与逆向合并均能满足我们的解题需要．公式的应用有给角求值、给值求值、三角函数式化简以及三角函数式的证明等。2．解题过程中要善于正用公式，更要学会逆用公式和变用公式，包括变更条件与结论、创造条件、变换角度、变换公式．3．正用公式的过程就是拆角成“和”“差”形式；逆用公式的过程就是将式子拼凑成公式需要的结构，因而始终要求在“形”上下功夫．