5.1_方阵的特征值与特征向量

1第5.1节矩阵的特征值与特征向量2主要内容:一、方阵的特征值与特征向量二、特征向量的性质三、小结思考与练习3一.方阵的特征值与特征向量1.特征值与特征向量的定义定义1:注：设是阶方阵，An若数和维非零列向量，使得nxAxx成立，则称是方阵的一个特征值，A为方阵的对应于特征值的一个特征向量。xA(1)A是方阵(2)特征向量是非零列向量x(EigenvectorsandEigenvalues)42.特征向量的几何意义：特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上,这时或者方向不变或者方向相反,至于时，特征向量就被线性变换变成0.)0(02Ax)0(01x)0(0)0(0x1Ax2x1x2,2215注:(1)如果是一个不可逆的方阵,则线性方程组有非零解,即故不可逆方阵必有零特征值.0Ax0000xAxxAx(2)一些实际问题中,常常会涉及到一系列的运算....,...,,,2xAxAAxk由特征值和特征向量的关系00可以化简这些运算.A63.特征值与特征向量的求法Axx0AEx或0EAx已知0,x所以齐次线性方程组有非零解0AE或0EA定义2：,nnijnnAa数是关于的一个多项式，称为矩阵的特征多项式。Annnnnnaaaaaaaaa212222111211AEf)(7AEf)(记nnnnnnaaaaaaaaa212222111211方程0AEf.A的特征方程称为nnnnbbb1118设阶方阵的个特征值为nijAan12,,,n则12n112211)()ninniiatraaAa＋＋＋称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）112n2)niiA＝定理1：10.)(.,,0)()2(1相同的特征值个数的重根对应的其中特征值的全部，求出解特征方程rArfAAEfn.0)-(0)()3(的全部特征向量的关于的非零解，得到或求iiiAxEAxAE；的特征多项式求出AEfA)()1(求的特征值与特征向量的步骤:A11解：第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.例1.求矩阵的特征值和全部特征向量.110430102AAE11043001022210特征值为1232,1第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组0,AEx求非零解。12齐次线性方程组为当时，1220AEx系数矩阵3102410100AE100010000自由未知量:3x120xx令得基础解系:31x1001p111(0kpk常数)是对应于12的全部特征向量。13齐次线性方程组为当时，2310AEx210420101AE10101200013232xxxx222(0kpk常数)是对应于231的全部特征向量。,1212P得基础解系14,2..TAA方阵与的特征值相同但特征向量却未必一样例,0010A但若取的特征值相同；与即知TAA，的特征值均为与则明显，021TAA不过，的特征向量为A)0(,01ccx的特征向量却为而TA)0(,10ccx证：AEAEAETT)(15若的特征值是，是的对应于的特征向量，则AxA(1)kA的特征值是.(kk是任意常数)(2)mA的特征值是.(mm是正整数)(3)A若可逆，则的特征值是1A1.A的特征值是1.A1,,,mkAAAA且仍然是矩阵x分别对应于的特征向量。11,,,Amk例3：16证明xAx2xAxxAAxAxxA22再继续施行上述步骤次，就得2mxxAmm.,征向量的特对应于是且的特征值是矩阵故mmmmAxA17可得再由xAxxAxAAxAx111xxA11,3可逆时当A.,1111的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故AxA，，知由021An18.xAxA下证：可得再由xAxxAxAAxAxAxA,0,时即可逆时当AA，，知由021AnIxAxA19注：应的特征值。对是则结论：若)()(,)(01110111AgaaaagEaAaAaAaAgkkkkkkkk20练习题2:已知=2是非奇异矩阵的特征值，则矩阵有一个特征值为____..41D;21C;43B;34A1231AA练习题1:已知三阶矩阵的三个特征值为1，2，3,则的行列式等于____,的三个特征值为_______,的三个特征值_______，_________.2+2+3=AAEAA-1A2+2+3AAE21练习题3:P143判断下列命题是否正确．(1)如果A向量构成的集合i是方阵的特征值，则i对应的特征};0)(|{)(xAExAENii(2)方阵(错)A的任何一个特征值一定对应无穷多个特征向量;(对)(3)由于方阵A和TA有一样的特征值,故他们也有一样的特征向量.(错)(4)如果n阶方阵A的n个特征值全为0,则A一定是零矩阵.(错)22二、特征向量的性质结论:121,,,0immiiiiAmxxxkxA矩阵关于特征值的个特征向量的任意非零线性组合还是的关于的特征向量.定理2:1212,,,,,,rrxxxAxxx设是矩阵的不同特征值所对应的特征向量,则是线性无关的.23定理3:定理4:Ass矩阵的个不同特征值所对应的组各自线性无关的特征向量并在一起仍是线性无关的.00.nAtt设是阶方阵的一个重特征值,则对应的特征向量中线性无关的最大个数结论:.nAn阶方阵至多有个线性无关的特征向量24三、小结思考与练习(2)求矩阵特征值与特征向量的步骤：1.||AAE计算的特征多项式；122.||0,,,,;nAEA求特征方程的全部根就是的全部特征值3.,0,.iiiAEx对于特征值求齐次方程的非零解就是对应于的特征向量(1)矩阵特征值与特征向量的概念(3)矩阵特征值与特征向量一些结论：25;.2221121nnnaaa对应的特征值。是则若)()(,)(.401110111AgaaaagEaAaAaAaAgkkkkkkkk;.121An)0(/1.31iiimimAkkAA的特征值为；的特征值为；的特征值为(4)特征向量的性质26思考题4:|3|0,2,||0,.TAE+AAAEAA设阶方阵满足条件求的一个特征值知由可逆故因为0|3|.,0||EAAA解:11.3A从而是的一个特征值3,A是的一个特征值即得又由,16|2|||2EAAEAATT2||16,||4,||0,||4,AAAA于是但因此.34*有一个特征值为故A27课后练习题:2.设设为矩阵的特征值，求的特征值；A22AAE若可逆，求的特征值。A1*,AEA111222111A求A的特征值与特征向量.1.