符号计算

符号计算符号计算的特点运算以推理解析的方式进行，因此不受计算误差积累问题困扰；符号计算，或给出完全正确的封闭解，或给出任意精度的数值解（当封闭解不存在时）；符号计算指令的调用比较简单，经典教科书公式相近；计算所需时间较长，有时难以忍受。Matlab符号计算1符号对象2符号微积分3级数4符号方程求解建立符号对象MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：sym和syms，两个函数的用法不同。(1)sym函数sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为：符号量名=sym(‘符号字符串’)该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。Sym语法S=sym(A)x=sym('x')x=sym('x','real')k=sym('k','positive')x=sym('x','clear')S=sym(A,flag)flagisoneof'r','d','e',or'f'符号常数形成中的差异a1=[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]a2=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)])a3=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)],'e')a4=sym('[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]')a24=a2-a4a1=0.33330.44882.23615.3777a2=[1/3,pi/7,sqrt(5),6054707603575008*2^(-50)]a3=[1/3-eps/12,pi/7-13*eps/165,sqrt(5)+137*eps/280,6054707603575008*2^(-50)]a4=[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]a24=[0,0,0,189209612611719/35184372088832-pi-5^(1/2)]fh01.m建立符号对象(2)syms函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。syms一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为：syms符号变量名1符号变量名2…符号变量名n用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符(‘)，变量间用空格而不要用逗号分隔。例如：symsaxy建立符号表达式含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下3种方法：(1)利用单引号来生成符号表达式。f='x^2+2*x'(2)用sym函数建立符号表达式。y=sym('2*sin(x)*cos(x)')(3)使用已经定义的符号变量组成符号表达式。symsaxyf=a*x^2+y符号表达式运算符号表达式的四则运算symadd(a,b)返回符号表达式a和b的和，也可直接用a+bsymsub(a,b)返回符号表达式a和b的差，也可直接用a-bsymmul(a,b)返回符号表达式a和b的积，也可直接用a*bsymdiv(a,b)返回符号表达式a和b的商，也可直接用a/bsympow(a,b)返回符号表达式a的b次幂，也可直接用a^b符号表达式运算提取分子和分母运算如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为：[n,d]=numden(s)s的分子和分母分别存放在n与d中。符号表达式运算例题写出矩阵各元素的分子、分母多项式程序：symsx;A=[3/2,(x^2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1);4/x^2,3*x+4];[n,d]=numden(A)pretty(simplify(A))%pretty(f)将符号表达式化简成%与高等数学课本上显示符号表达式形式类似434131232322xxxxxxfh02.m符号表达式运算符号表达式的因式分解与展开factor(s)：对符号表达式s分解因式expand(s)：对符号表达式s进行展开collect(s)：对符号表达式s合并同类项collect(s,v)：对符号表达式s按变量v合并同类项符号表达式运算符号表达式的化简simplify(s)：应用函数规则对s进行化简。simple(s)：调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。符号表达式运算符号表达式与数值表达式之间的转换sym:将数值表达式变换成符号表达式numeric或eval:将符号表达式变换成数值表达式符号表达式中变量的确定findsym(s,n)函数返回符号表达式s中的n个符号变量，若没有指定n，则返回s中的全部符号变量。例：symsabxXY;k=sym('3');z=sym('c*sqrt(delta)+y*theta');EXPR=a*z*X+(b*x^2+k)*Y;findsym(EXPR)ans=X,Y,a,b,c,delta,x,yfh03.m符号矩阵符号矩阵也是一种符号表达式，所以前面介绍的符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。但应注意这些函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。transpose(s)：返回s矩阵的转置矩阵。determ(s)：返回s矩阵的行列式值。其实，曾介绍过的许多应用于数值矩阵的函数，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接应用于符号矩阵。置换subs(f,old,new)：f为符号表达式，new与old是字符、字符串或其他的符号表达式，new字符串将替换符号表达式f中的old字符串置换——例题symsax;f=a*sin(x)+5;f1=subs(f,'sin(x)',sym('y'))f1=a*y+5f2=subs(f,{a,x},{2,sym(pi/3)})f2=3^(1/2)+5f3=subs(f,{a,x},{2,pi/3})f3=6.7321f4=subs(subs(f,a,2),x,0:pi/6:pi)f4=5.00006.00006.73217.00006.73216.00005.0000f5=subs(f,{a,x},{0:6,0:pi/6:pi})f5=5.00005.50006.73218.00008.46417.50005.0000fh04.m符号微积分符号极限limit函数的调用格式为：limit(f,x,a)：求符号函数f(x)的极限值。即计算当变量x趋近于常数a时，f(x)函数的极限值。limit(f,a)：求符号函数f(x)的极限值。由于没有指定符号函数f(x)的自变量，则使用该格式时，符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，即变量x趋近于a。。符号微积分符号极限limit函数的调用格式为：limit(f)：求符号函数f(x)的极限值。符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。limit(f,x,a,‘right’)：求符号函数f的极限值。‘right’表示变量x从右边趋近于a。limit(f,x,a,‘left’)：求符号函数f的极限值。‘left’表示变量x从左边趋近于a。符号微积分符号导数diff函数用于对符号表达式求导数。该函数的一般调用格式为：diff(s)：没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数。diff(s,‘v’)：以v为自变量，对符号表达式s求一阶导数。diff(s,n)：按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数。diff(s,'v',n)：以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。符号微积分符号积分符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分。int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分。int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。符号微积分积分变换常见的积分变换有傅立叶变换、拉普拉斯变换和Z变换。傅立叶(Fourier)变换fourier(f,x,t)：求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。ifourier(F,t,x)：求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x)。拉普拉斯(Laplace)变换laplace(fx,x,t)：求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。ilaplace(Fw,t,x)：求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。Z变换当函数f(x)呈现为一个离散的数列f(n)时，对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是：ztrans(fn,n,z)：求fn的Z变换像函数F(z)。iztrans(Fz,z,n)：求Fz的z变换原函数f(n)。级数求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum，其调用格式为：symsum(s,v,n,m)其中s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。n和m是求和的开始项和末项。taylor(f,v,n,a)该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项(即变量v的n-1次幂)为止，n的缺省值为6。v的缺省值与diff函数相同。参数a指定将函数f在自变量v=a处展开，a的缺省值是0。符号方程求解符号代数方程求解：solve(s)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。solve(s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn)：求解符号表达式s1,s2,…,sn组成的代数方程组，求解变量分别v1,v2,…,vn。符号方程求解符号常微分方程求解：在MATLAB中，用大写字母D表示导数。例如，Dy表示y'，D2y表示y''，Dy(0)=5表示y'(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y'''+y''+y'-x+5=0。符号常微分方程求解可以通过函数dsolve来实现，其调用格式为：dsolve(e,c,v)该函数求解常微分方程e在初值条件c下的特解。参数v描述方程中的自变量，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件c，则求方程的通解。dsolve在求常微分方程组时的调用格式为：dsolve(e1,e2,…,en,c1,…,cn,v1,…,vn)该函数求解常微分方程组e1,…,en在初值条件c1,…,cn下的特解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，v1,…,vn给出求解变量。