【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 7.6

第六节空间向量及其运算【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)空间向量的有关概念:名称定义空间向量在空间中,具有_____和_____的量叫作空间向量,其大小叫作向量的_____或___自由向量与向量的_____无关的向量单位向量长度或模为__的向量(非零向量a的单位向量a0=___)零向量长度为__的向量大小方向长度模起点1||aa0名称定义相等向量方向_____且模_____的向量相反向量方向_____而___相等的向量向量a,b的夹角过空间任意一点O作向量a,b的相等向量和,则______叫作向量a,b的夹角,记作______,范围是[0,π]①当a,b=时,记作_____;②当a,b=0或π时,记作_____平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线_________或_____,则这些向量叫作_________或_________共面向量平行于同一_____的向量相同相等相反模OAOB∠AOBa,b2a⊥ba∥b互相平行重合共线向量平行向量平面名称定义直线的方向向量若A,B是空间直线l上任意两点,则称___为直线l的方向向量(与____平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量)法向量如果直线l_______平面α,那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量(所有与直线l_____的非零向量都是平面α的法向量)AB垂直于平行AB(2)空间向量的加、减、数乘运算:空间向量的加、减、数乘运算是平面向量运算的推广.如图,设a,b是空间任意两向量,若P∈OC,①加法:=____.②减法:=____.③数乘:=____(λ∈R).OAAC,AB，abOBOAABa+bBCACABa-bOPλa④空间向量加法、数乘运算满足的运算律:(ⅰ)交换律:a+b=____.(ⅱ)结合律:(a+b)+c=________.λ(μa)=________(λ∈R,μ∈R).(ⅲ)分配律:λ(a+b)=________(λ∈R).b+aa+(b+c)(λμ)aλa+λb(3)共线向量定理与共面向量定理:①共线向量定理:空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得______.②共面向量定理:如果两个向量a,b_______,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使________.a=λb不共线p=xa+yb(4)空间向量的数量积及运算律:〈a,b〉∠AOB0≤a,b≤πλ(a·b)a·(λb)b·aa·b+a·c2.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:利用共线向量定理、空间向量定理证明一些平行、共面的问题的方法;利用数量积运算解决一些距离(长度)、夹角问题的方法.(2)数学思想:数形结合思想、转化与化归思想和函数与方程思想.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)空间中任意两非零向量a,b共面.()(2)对于任意两个空间向量a,b,若a·b=0,则a⊥b.()(3)在向量的数量积运算中(a·b)·c=a·(b·c).()(4)对于非零向量b,若a·b=b·c,则a=c.()(5)若a·b0,则a,b是锐角.()【解析】(1)正确.由于向量可平移,因此空间任意两向量都可平移到同一起点,故空间任意两非零向量共面.(2)错误.若a与b是非零向量,才有a·b=0⇒a⊥b.(3)错误.因为两个向量的数量积的结果是数量而不是向量,(a·b)·c=λc,a·(b·c)=μa,故(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等.(4)错误.根据向量数量积的几何意义,a·b=b·c说明a在b方向上的投影与c在b方向上的投影相等,而不是a=c.(5)错误.a·b0,则a,b∈即a,b可能为0,也就是a与b同向.答案:(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×[0,),22.教材改编链接教材练一练(1)(选修2-1P30例1改编)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,设则下列向量中与相等的向量是()A.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b-cD.-a-b+c1AB,AD,AA,abc12121212121212121CM【解析】选C.11CMCCCM11111AAACAA(ABAD)221111ABADAA.2222abc(2)(选修2-1P28习题2-1B组T1改编)如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中〈〉=______,〈〉=_______.AD,ACAD,CD【解析】因为A′C′∥AC,所以〈〉=〈〉=45°.又因为△ACD′是等边三角形，所以〈〉=60°.答案：45°60°AD,ACAD,ACAD,CD3.真题小试感悟考题试一试(1)(2015·西安模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若则x,y的值分别为()【解析】选C.如图，1AEAAxAByAD,1A.x1,y1B.x1,y2111C.x,yD.x,y1222111111AEAAAEAAAC211AA(ABAD).2(2)(2015·合肥模拟)在空间四边形ABCD中，=()A.-1B.0C.1D.不确定ABCDACDBADBC【解析】选B.如图，空间四边形ABCD可看作三棱锥A-BCD，不妨令其各棱长都相等，即为正四面体，因为正四面体的对棱互相垂直，所以所以ABCD0,ACDB0,ADBC0,ABCDACDBADBC0.考点1空间向量的线性运算【典例1】(1)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，则x+y+z等于_________.11ACxAB2yBC3zCC,(2)如图所示,在空间几何体ABCD-A1B1C1D1中,各面为平行四边形,设M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:1AAABAD＝，＝，＝，abc1AP;MPNC.①②【解题提示】(1)根据线性运算的法则把用表示，然后根据对应的系数相等求出x,y,z.(2)利用三角形法则或多边形法则把待表示向量用其他向量表示,逐渐向向量a,b,c靠拢.1AC1ABBCCC，，【规范解答】(1)因为又不共面，所以x=1,2y=1,3z=-1,所以x=1,y=,z=-，所以x+y+z=1+-=答案：11ACABBCCC,1AB,BC,CC121312137.676(2)①因为P是C1D1的中点,所以1111111APAAADDPADDC2＝＋＋＝＋＋a11AB.22＝＋＋＝＋＋acacb②因为M是AA1的中点,所以又所以111111MPMAAPAAAP.22222＝＋＝＋＝－＋＋＋＝＋＋a(acb)abc1111111NCNCCCBCAAADAA222＝＋＝＋＝＋＝＋，ca1111313MPNC()().222222＋＝＋＋＋＋＝＋＋abcacabc【互动探究】在例(2)的条件下，若试用a，b，c表示,则结果如何？【解析】如图，连接AF，则由已知ABCD是平行四边形，故11AEECAF2FD2＝，＝，EFEFEAAF.＝＋ACABAD＝＋＝＋，bc11ADAAAD.＝＋＝－＋ac又由已知所以所以11EAAC33＝－＝－＋，bc1AF2FD＝，AFADDFADFD＝＋＝－1111ADAD()2333＝－＝－－＝＋，ccaac11EFEAAF(2)33＝＋＝－＋＋＋bcac13＝－＋．abc【规律方法】1.用基向量表示指定向量的方法用已知基向量表示指定向量时,应结合已知和所求观察图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,然后利用三角形法则或平行四边形法则,把所求向量用已知基向量表示出来.2.向量加法的多边形法则首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.提醒:空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.【变式训练】(2015·长春模拟)如图所示,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且若则x,y,z的值分别为.MG2GN,OGxOAyOBzOC,【解析】设则又所以答案：OA,OB,OC,abc11111MNONOMOBOCOA,22222bca12OGOMMGOAMN2312111111(),23222633abcaabcOGxOAyOBzOC,111x,y,z,633111,,633【加固训练】1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.(1)化简:(2)用表示(3)设E是棱DD1上的点,且若试求x,y,z的值.111AOABAD.22－－1AB,AD,AA1OC.12DEDD3＝，1EOxAByADzAA＝＋＋，【解析】(1)因为ABADAC＋＝，1111111111111AOABADAO(ABAD)2221AOACAOAOAA.212OCOCCCACCC2111(ABAD)AAABADAA.222所以－－＝－＋＝－＝－＝(3)如图所示,111121EOEDDODDDB3221211DD(DAAB)AADAAB32322112ABADAA223112xyz.223因为＝＋＝＋＝＋＋＝＋＋＝－－，所以＝，＝－，＝－2.如图，已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.设试用a，b，c表示ABACAD＝，＝，＝，abcBGBN.，【解析】3BGBAAGBAAM4＝＋＝[phone]BNBAANBA(ACAD).333＝－＋＋＋＝－＋＋，＝＋＝＋＋＝－＋＋aabcabcabc考点2共线定理、共面定理的应用【典例2】(1)(2015·烟台模拟)已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a与b同向,则x,y的值分别为.(2)如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足(0≤k≤1).①向量是否与向量共面?②直线MN是否与平面ABB1A1平行?1AMkAC,BNkBCMN1AB,AA【解题提示】(1)根据a∥b构建方程组求解，但应排除反向的情况.(2)①看向量是否可表示成的形式.②看能否与平面ABB1A1两相交直线的方向向量共面，且是否在该平面内，从而作出判断.MN1xAByAAMNMN【规范解答】(1)由题意知a∥b,所以即解之得或当时，b=(-2，-4，-6)=-2a,即a与b反向，不符合题意，应舍去.当时，b=(1,2,3)=a,即a与b同向，故答案：1，32xxy2y,1232y3x,xy22x,①②x2,y6,x1,y3.x2,y6x1,y3x1,y3.(2)①因为所以由共面向量定理知向量与向量共面.1AMkAC,BNkBC.111111111MNMAABBNkCAABkBCk(CABC)ABk(CABC)ABkBAABABkABABk(AAAB)(1k)ABkAA,所以MN1AB,AA②当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,MN在平面ABB1A1内,当0k≤1时,MN不在平面ABB1A1内,又由(1)知与共面,所以MN∥平面ABB1A1.MN1AB,AA【规律方法】1.空间三点共线的判断方法结合已知向量从三点中提炼两个共点向量,利用共线向量定理判断,但一定要说明两线有公共点.2.证明空间四点共面的方法对空间四点P,M,A,B可通过证明下列结论成立来证明四点共面.(1)(2)对空间任一点O,(3)对空间任一点O,(4)MPxMAyMB.＝＋OPOMxMAyMB.＝＋＋OPxOMyOAzOB(xyz1).＝＋＋＋＋＝PMAB(PAMBPBAM)或或．【变式训练】已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD