【优化方案】2012高三数学一轮复习 第2章2.1函数及其表示课件 文 北师大版

§2.1函数及其表示考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§2.1函数及其表示双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．函数的概念及表示函数定义给定两个__________A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中______一个数x，在集合B中都存在______确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数．函数记法记作_____________或_____________非空数集任何唯一f：A→By＝f(x)，x∈A函数的定义域在函数的定义中x叫作自变量，_______________叫作函数的定义域函数的值域集合_____________叫作函数的值域函数的三要素_______、_______和__________函数的表示法________、__________和_________x的取值范围A{f(x)|x∈A}定义域值域对应法则解析法图像法列表法思考感悟1．任何一个函数都可以用解析法表示吗？提示：不一定．如某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示．2．分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着______的对应关系，则称这样的函数为分段函数．3．映射的定义(1)两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有______的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为______，B中的对应元素y称为x的_____，记作f：x→y.不同唯一原像像(2)一一映射一一映射是一种特殊的映射，它满足：①A中每一个元素在B中都有_______的像与之对应；②A中的不同元素的像也______；③B中的每一个元素____________唯一不同都有原像．思考感悟2．函数是映射吗？提示：由函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映射，是从非空数集到非空数集的一一映射．1．(2011年南阳联考)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有()课前热身A．①②③④B．①②③C．②③D．②答案：C答案：D2．下列各组函数是同一函数的是()A．y＝|x|x与y＝1B．y＝|x－1|与y＝x－1，x＞11－x，x＜1C．y＝|x|＋|x－1|与y＝2x－1D．y＝x3＋xx2＋1与y＝x3．若D(x)＝0x为有理数1x为无理数，则D(D(x))＝()A．0B．1C.12D．任意实答案：A4．(2010年高考广东卷)函数f(x)＝lg(x－2)的定义域是________．答案：(2，＋∞)5．(教材改编题)给出下面四种对应关系：①A＝N＋，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；②A＝N，B＝N＋，f：x→y＝|x－1|，x∈A，y∈B；③A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高；④A＝R，B＝R，f：x→y＝1x＋|x|，x∈A，y∈B.是映射的是________．答案：①③考点探究•挑战高考考点突破映射与函数的概念1．判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有像”和“且像唯一”，即可以是“一对一”或者“多对一”．2．f：A→B形成函数时，A即函数的定义域，但B不一定是值域．如果B中的元素都有原像，则B才是值域，即函数就是从定义域到值域的映射．给出下列四个命题：①f(x)＝x－3＋2－x是函数；②函数y＝2x(x∈N)的图像是一条直线；③f(x)＝x2x与g(x)＝x是同一函数；例1④已知A＝[1,2]，B＝[a，b]≠∅，则对应x∈A，f：x→y＝(b－a)x＋2a－b是从集合A到集合B的函数，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据映射与函数的概念逐条判断．【解析】由x－3≥02－x≥0⇒x≥3x≤2，无解，知自变量x的取值为空集，所以f(x)＝x－3＋2－x不是函数，故①错．因为在y＝2x(x∈N)中定义域为N，所以其图像为一群孤立的点，故②错．函数f(x)＝x2x的定义域为{x∈R|x≠0}，g(x)＝x的定义域为R，两者定义域不同，故不是同一函数，③错．∵b＞a，∴y＝(b－a)x－2(b－a)＋b＝(b－a)(x－2)＋b≤b，∴对任意x∈A，即1≤x≤2，在f作用下都有x－2≤0，∴y≤b，同样，有y＝(b－a)x－(b－a)＋a＝(b－a)(x－1)＋a，对任意x∈A，均有x－1≥0，∴y≥a，∴y∈B，故是函数．【答案】A【名师点评】从集合A到集合B的函数必须满足：(1)集合A中的元素在集合B中都有与之对应的元素；(2)集合B中的元素可以有剩余；(3)对应关系可以是“多对一”，也可以是“一对一”，但绝不是“一对多”．求函数值理解对应关系的实质是解答此类问题的关键．(1)关于对应关系f，它是函数的本质特征，它好比是计算机中的某个“程序”，当f()中括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值．(2)f(a)(a为定义域中的一个值)是值域内的一个值，是常量，f(x)表示自变量x的函数，表示的是变量．（2010年高考陕西卷)已知函数f(x)＝2x＋1，x＜1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a等于()A.12B.45C．2D．9例2【思路点拨】先分清对应关系，再代入求值．【解析】f(x)＝2x＋1，x＜1x2＋ax，x≥1，且0＜1，∴f(0)＝20＋1＝2，∵f(0)＝2＞1，∴f[f(0)]＝22＋2a＝4a.∴a＝2.【答案】C【名师点评】(1)求f(g(x))类型的函数值时，遵循先内后外的原则；(2)对于分段函数的求值问题，依据条件准确地找出利用哪一段求解，不确定时要分类讨论．变式训练1用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为()A．4B．5C．6D．7解析：选C.法一：函数f(x)＝2x0≤x≤2x＋22＜x≤410－xx＞4，由于函数在区间[0,2]上单调递增，在区间(2,4]上单调递增，在点x＝2处两段的函数值相等，故函数在区间[0,4]上单调递增，函数在区间(4，＋∞)上单调递减，又在点x＝4处两段上的函数值相等，故x＝4是函数的最大值点，函数的最大值是f(4)＝6.故选C.法二：画出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的图像，如图，根据函数f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}的意义，函数f(x)的图像是由上面三个函数图像位于最下方的图像组成的，观察图像可知，当0≤x≤2时，f(x)＝2x，当2＜x≤4时，f(x)＝x＋2，当x＞4时，f(x)＝10－x，f(x)的最大值在x＝4时取得，最大值为6，故选C.求函数的解析式求函数表达式的主要方法有：代入法、换元法、待定系数法和消元法等．如果是求复合函数的解析式可用代入法；已知复合函数的解析式可用换元法求原来函数的解析式，特殊情况下可利用代入法和凑项法解决；如果已知函数的解析式的类型，可采用待定系数法等．(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；(3)已知f(x)满足2f(x)＋f(1x)＝3x，求f(x)．例3【思路点拨】(1)由题设f(x)为一次函数，故可先设出f(x)的表达式，用待定系数法求解；(2)已知条件是一复合函数的解析式，因此可用换元法；(3)已知条件中含x、1x，可用解方程组法求解．【解】(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立．∴a＝2，b＋5a＝17，解得a＝2，b＝7.∴f(x)＝2x＋7.(2)法一：设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．(3)∵2f(x)＋f(1x)＝3x，①∴2f(1x)＋f(x)＝3x.②由①得f(1x)＝3x－2f(x)，代入②解得f(x)＝2x－1x(x≠0)．【失误点评】(1)设一次函数f(x)的解析式，易忽视一次项系数不为0的条件．(2)易忽视x的取值范围．变式训练2某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？解：(1)依题意，本年度每辆摩托车的成本为1＋x(万元)，而出厂价为1.2×(1＋0.75x)(万元)，销售量为1000×(1＋0.6x)(辆)．故利润y＝[1.2×(1＋0.75x)－(1＋x)]×1000×(1＋0.6x)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．(2)要保证本年度利润比上一年有所增加，则y－(1.2－1)×1000＞0，即－60x2＋20x＞0，解得0＜x＜13，适合0＜x＜1，故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x的取值范围是0＜x＜13.方法感悟方法技巧1．若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同，则这两个函数为同一函数．(如课前热身2)2．函数有三种表示方法——列表法、图像法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数方程等，特别要注意将实际问题化归为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域，还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法．(如例3)3．分段函数的特点是在定义域的不同范围内函数的解析式是不相同的，也就是说函数值的变化规律是不相同的．因此研究分段函数问题时，要在各分段定义域内分别讨论．针对近几年的高考，分段函数问题要引起足够的重视．(如例2)失误防范1．研究函数必须遵循“定义域优先”原则．2．判断对应是否为函数，即看A、B是否为“非空数集”和对“任意”x有“唯一”y与之对应．3．判断两个函数是否同一，紧扣函数三要素是解题关键，只有定义域，对应法则相同的函数才是同一函数，与表达形式和所用字母无关．4．求函数解析式一定要注明定义域，求实际问题中函数的定义域时，除了使解析式有意义，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．考情分析考向瞭望•把脉高考函数及其表示是高考的重要板块之一，表示函数的解析法、图像法、分段函数以及函数与其他知识的综合问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查解析法、图像法、分段函数的应用及对函数概念的理解．主观题考查较为全面，在考查函数概念、表示的基础上，又注重考查函数方程、分类讨论、数形结合等思想方法．预测2012年高考仍将以函数的概念、解析法、图像法、分段函数的应用为主要考点，重点考查数形结合、分类讨论思想及逻辑推理能力．真题透析例1(2010年高考江西卷)给出下列三个命题：①函数y＝12ln1－cosx1＋cosx与y＝lntanx2是同一函数；②若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，则函数y＝f(2x)与y＝12g(x)的图像也关于直线y＝x对称；③若奇函数f(x)对定义域内任意x都有f(x)＝f(2－x)，则f(x)为周期函数．其中真命题是()A．①②B．①③C．②③D．②【解析】对于①，易求