【优化方案】2012高三数学一轮复习 第2章2.3函数的单调性及最值课件 文 北师大版

§2.3函数的单调性及最值考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§2.3函数的单调性及最值双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．函数的单调性(1)增加的、减少的函数增加的函数减少的函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A当x1＜x2时，都有____________那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的.当x1＜x2时，都有______________，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是_______的.f(x1)＜f(x2)．f(x1)＞f(x2)递减(2)单调区间和函数的单调性①如果y＝f(x)在区间A上是_________或是________，那么称A为单调区间．②如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是_________或是________，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y＝f(x)在______________内是________或是_________，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．增加的减少的增加的减少的整个定义域增加的减少的思考感悟1．如果一个函数在定义域的几个区间上都是增(减)函数，能不能说这个函数在其定义域上是增(减)函数？提示：不能，如正切函数在每一个(kπ－π2，kπ＋π2)k∈Z上均为增函数，但在其定义域内却不单调．2．函数的最值(1)函数的最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有_________；②存在x0∈I，使得__________.那么称M是函数y＝f(x)的最大值．f(x)≤Mf(x0)＝M(2)函数的最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有_________；②存在x0∈I，使得___________那么称M是函数y＝f(x)的最小值．f(x)≥Mf(x0)＝M.思考感悟2．函数最大值或最小值的几何意义是什么？提示：函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图像上看，函数的最大值或最小值是图像最高点或最低点的纵坐标．课前热身1．(教材改编题)下列函数中，在(0，＋∞)上为减函数的是()A．y＝1＋x2B．y＝x2＋2xC．y＝11＋xD．y＝xx－1答案：C2．下列说法正确的是()A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1＜x2，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数C．若f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为增函数D．若f(x)在区间I上为增函数，且f(x1)＜f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1＜x2答案：D3．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(1x)＞f(1)的实数x的取值范围是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0,1)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案：D4．(原创题)若x∈(0,2]，则x－2x的最大值为________．答案：15．设x1，x2为y＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0；③fx1－fx2x1－x2＞0；④fx1－fx2x1－x2＜0.其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________．答案：①③考点探究•挑战高考考点突破判断(或证明)函数的单调性判断函数的单调性，常用的方法有图像法、定义法、导数法或利用已知函数的单调性判断．特别要掌握利用定义判断函数单调性这一最基本的方法，必须按“取值—作差—变形—定号—判断”的基本步骤进行，而变形过程常通过因式分解、配方、有理化等手段，直到便于判断差的符号为止．例1(2010年高考北京卷)给定函数①y＝x12，②y＝log12(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④【思路点拨】画出四个函数的草图，根据图像判断．【解析】法一：画出4个图像，可知②③正确．故选B.③中的函数图像是函数y＝x－1的图像保留x轴上方的部分，下方的图像翻折到x轴上方而得到的，由其图像可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R上单调递增，不符合题意，综上可知选B.【答案】B法二：①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中的函数是由函数y＝log12x向左平移1个单位而得到的，因为原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；互动探究1判断函数f(x)＝12x在(0，＋∞)上的单调性．解：由例1可知f(x)＝x12在(0，＋∞)上为增函数，证明如下：任取0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x121－x122＝x1－x2＝x1－x2x1＋x2，∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴函数f(x)＝x12在(0，＋∞)上为增函数．求函数的单调区间函数的单调区间应是函数定义域的子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域，常用方法有图像法、定义法和导数法．复习时，要善于借助函数图像，并特别注意函数的定义域．求下列函数的单调区间，并确定每一区间上的单调性．(1)y＝－x2＋2|x|＋3；(2)y＝(13)x2－x；(3)y＝12log(－x2－2x＋3)．例2【思路点拨】(1)先去掉绝对值符号转化为分段函数，再求单调区间；(2)(3)是复合函数，可根据复合函数单调区间的求法求单调区间．【解】(1)依题意，可得y＝－x2＋2|x|＋3＝－x2＋2x＋3，x≥0，－x2－2x＋3，x0，即y＝－x－12＋4，x≥0，－x＋12＋4，x0.由图知，函数在(－∞，－1]和[0,1]上是增函数，在[－1,0]和[1，＋∞)上是减函数．(2)设μ＝x2－x，则y＝(13)μ.∵μ在(－∞，12]上为减函数，在[12，＋∞)上为增函数，又∵y＝(13)μ为减函数，∴y＝(13)x2－x在(－∞，12]上为增函数，在[12，＋∞)上为减函数．(3)令－x2－2x＋3＞0，得－3＜x＜1，即函数定义域为(－3,1)．设u＝－x2－2x＋3，则y＝12logu.∵u在(－3，－1]上为增函数，在[－1,1)上为减函数．又y＝12logu是减函数．∴y＝12log(－x2－2x＋3)在(－3，－1]上是减函数，在[－1,1)上是增函数．【易错警示】本例(1)易将单调减区间写成[－1,0]∪[1，＋∞)，单调增区间写成(－∞，－1]∪[0,1]；本例(3)易忽视定义域，将单调减区间写成(－∞，－1]，单调增区间写成(－1，＋∞)．函数的最值(值域)本考点是指借助函数的单调性来求函数的最值(值域)．基本方法是先确定函数的单调性，再由单调性求最值．需要注意的是所给函数的定义域是闭区间或半开半闭区间才能用单调性法来求值域(最值)．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．例3【思路点拨】fx＋fy＝fx＋yx＞0时，fx＜0―→x1＞x2时，fx1＜fx2―→结论1―→结论2【解】(1)证明：设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)，又∵x＞0时，f(x)＜0.而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上是减函数．(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.【规律小结】若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．变式训练2求函数f(x)＝x＋4x在x∈[1,3]上的最大值与最小值．解：设1≤x1＜x2≤3，则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋4x1－4x2＝(x1－x2)(1－4x1x2)．又∵x1＜x2，∴x1－x2＜0，当1≤x1＜x2≤2时，1－4x1x2＜0.∴f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x)在[1,2]上是减函数．当2＜x1＜x2≤3时，1－4x1x2＞0，f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x)在(2,3]上是增函数．∴f(x)的最小值为f(2)＝2＋42＝4，又∵f(1)＝5，f(3)＝3＋43＝133＜f(1)，∴f(x)的最大值为5.方法感悟方法技巧1．求函数的单调区间(1)含绝对值的函数或分段函数求单调区间常用图像法．(如例2(1))(2)求复合函数的单调区间①如果y＝f(u)和u＝g(x)单调性相同，那么y＝f[g(x)]是增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)单调性相反，那么y＝f[g(x)]是减函数．②求复合函数的单调区间的一般步骤是：a.求函数的定义域；b.求简单函数的单调区间；c.求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．(如例2(3))2．运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图像不易作出时，单调性几乎成为首选方法．(如例3)失误防范1．一个函数出现两个或者两个以上单调区间时，不能用“∪”而应该用“和”来表示．如函数y＝1x，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不能笼统地说，函数在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减，而只能说函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减．因为若在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减，对－1＜1，则有f(－1)＞f(1)，而事实上f(－1)＜f(1)．2．求函数的单调区间不能忽视定义域，单调区间应是定义域的子集．3．两函数f(x)、g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，1fx等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．考情分析考向瞭望•把脉高考从近两年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测2012年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．(2010年高考江西卷)(本题满分12分)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a＞0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为12，求a的值．真题透析例【解】函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝1x－12－x＋a.3分(1)当a＝1时，f′(x)＝－x2＋2x2－x，所以f(x)的单调递增区间为(0，2]，单调递减区间为[2，2).7分(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝2－2xx2－x＋a＞0，10分即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝12.12分【名师点评】(1)本题易失误的是：①导数运算公式记忆不准确，求不对导数；②不会用导数判断单调性或解不等式出错．(