【三维设计】(新课标)2016届高考数学大一轮复习 第五章 第三节 等比数列及其前n项和课件

第三节等比数列及其前n项和基础盘查一等比数列的有关概念(一)循纲忆知理解等比数列的概念(定义、公比、等比中项)．(二)小题查验1．判断正误(1)常数列一定是等比数列()(2)等比数列中不存在数值为0的项()(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列()(4)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab()×√××2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是()A．a≠1B．a≠0或a≠1C．a≠0D．a≠0且a≠1基础盘查二等比数列的有关公式(一)循纲忆知1．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3．了解等比数列与指数函数的关系．(二)小题查验1．判断正误(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn()(2)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an1－a()2．(人教A版教材习题改编)在等比数列{an}中，已知a1＝－1，a4＝64则q＝____，S4＝____.××－451基础盘查三等比数列的性质(一)循纲忆知掌握等比数列的性质及应用．(二)小题查验1．判断正误(1)q＞1时，等比数列{an}是递增数列()(2)在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq，则m＋n＝p＋q()(3)在等比数列{an}中，如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，那么am·an＝a2k()(4)若数列{an}是等比数列，则数列1an是等比数列()(5)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列()××√√×2．(北师大版教材习题改编)将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是()A．公比为q的等比数列B．公比为q2的等比数列C．公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列考点一等比数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－q，q≠1.[提醒]运用等比数列的前n项和公式时，必须对q＝1与q≠1分类讨论．[题组练透]1．(2015·东北三校联考)已知数列{an}满足2an＋1＋an＝0，a2＝1，则数列{an}的前10项和S10为()A．43(210－1)B．43(210＋1)C．43(2－10－1)D．43(2－10＋1)解析：∵2an＋1＋an＝0，∴an＋1an＝－12.又a2＝1，∴a1＝－2，∴数列{an}是首项为－2，公比为q＝－12的等比数列，∴S10＝a11－q101－q＝－21－2－101＋12＝43(2－10－1)，故选C.答案：C2．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为()A．1B．－12C．1或－12D．－1或12解析：根据已知条件得a1q2＝7，a1＋a1q＋a1q2＝21，∴1＋q＋q2q2＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－12.3．(2015·唐山一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，则Snan＝()A．4n－1B．4n－1C．2n－1D．2n－1解析：设{an}的公比为q，∵a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，∴a1＋a1q2＝52①，a1q＋a1q3＝54②，由①②可得1＋q2q＋q3＝2，∴q＝12，代入①得a1＝2，∴an＝2×12n－1＝42n，∴Sn＝2×1－12n1－12＝41－12n，∴Snan＝41－12n42n＝2n－1，选D.答案：D4．设数列{an}的前n项和Sn满足6Sn＋1＝9an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝1an，求数列{bn}前n项和Tn.解：(1)当n＝1时，由6a1＋1＝9a1，得a1＝13.当n≥2时，由6Sn＋1＝9an，得6Sn－1＋1＝9an－1，两式相减得6(Sn－Sn－1)＝9(an－an－1)，即6an＝9(an－an－1)，∴an＝3an－1.∴数列{an}是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为an＝13×3n－1＝3n－2.(2)∵bn＝1an＝13n－2，∴{bn}是首项为3，公比为13的等比数列，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝31－13n1－13＝921－13n.[类题通法]解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.考点二等比数列的判定与证明(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]1．定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．定义的表达式为an＋1an＝q.2．等比中项G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.[提醒]在等比数列中每项与公比都不为0.[一题多变][典型母题]已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)证明：∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴an＋1－1an－1＝12.∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，∴a1＝12，c1＝－12.又cn＝an－1，故{cn}是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知cn＝－12×12n－1＝－12n∴an＝1－12n.[题点发散1]在本例条件已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n下，若数列{bn}满足b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2),证明：{bn}是等比数列．证明：∵由(2)知an＝1－12n，∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1＝12n－1－12n＝12n.又b1＝a1＝12也符合上式，∴bn＝12n.∴bn＋1bn＝12，数列{bn}是等比数列．[题点发散2]本例条件变为：已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝a(a≠0)，an＋2＝p·a2n＋1an(其中p为非零常数，n∈N*)．试判断数列an＋1an是不是等比数列．解：由an＋2＝p·a2n＋1an，得an＋2an＋1＝p·an＋1an.令cn＝an＋1an，则c1＝a，cn＋1＝pcn.∵a≠0，∴c1≠0，cn＋1cn＝p(非零常数)，∴数列an＋1an是等比数列．[类题通法]等比数列的判定方法(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．[提醒](2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．考点三等比数列的性质(重点保分型考点——师生共研)[必备知识](1)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2k；(2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍然是等比数列；(3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk；(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S4n不一定构成等比数列．[典题例析]1．(2015·长春调研)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝____.解析：设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝a31q3与a4a5a6＝12＝a31q12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝a31q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14，142．(2014·广东高考)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝____.解析：因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50.50[类题通法]等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[演练冲关]1．(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是____．解析：设等比数列{an}的公比为q，q0，则a8＝a6＋2a4即为a4q4＝a4q2＋2a4，解得q2＝2(负值舍去)，又a2＝1，所以a6＝a2q4＝4.42．等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝______.解析：由S10S5＝3132，a1＝－1知公比q≠1，S10－S5S5＝－132.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－132，q＝－12.－12