行程问题之环形跑道

行程问题之环形跑道环形道路上的行程问题本质上讲就是追及问题或相遇问题。当二人或二物同时运动时就是追及问题，追及距离是二人初始距离及环形道路之长的倍数之和；当二人或二物反向运动时就是相遇问题，相遇距离是二人从出发到相遇所行路程和。追及问题•相差路程÷速度之差=追上时间•追上时间×速度之差=相差路程•相差路程÷追上时间=速度之差相遇问题•速度之和×相遇时间=相遇路程（路程之和）•相遇路程÷相遇时间=速度之和•相遇路程÷速度之和=相遇时间•1.甲乙两人在400米的环形跑道上跑步，两人朝相反的方向跑。两人第一次和第二次相遇间隔40秒，已知甲每秒跑6米，乙每秒跑多少米？甲乙两人从第一次到第二次相遇共走：400米400÷40=10（米/秒）10－6=4（米/秒）答：乙每秒跑4米。复习：2.甲乙两人同时从A点反向出发，沿400米环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，这两人至少用多少分钟再在A点相遇？甲走一圈的时间：400÷80=5（分）乙走一圈的时间：400÷50=8（分）因为5和8的最小公倍数是40.所以两人至少用40分钟再在A点相遇。3.如图，在一圆形跑道上。小明从A点出发，小强从B点同时出发，相向行走。6分钟后，小明与小强相遇，再过4分钟，小明到达B点，又再过8分钟，小明与小强再次相遇。问小明环形一周要多少时间？分析：小明走4分钟的路程相当于小强走6分钟的路程。从第一次相遇到第二次相遇小明走了：4+8=12（分）小明走12分钟，小强同样也走12分钟，但小强走12分钟的路程，小明只需走8分钟。所以小明走一周要：12+8=20（分钟）1.甲、乙两运动员在周长为400米环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米处。问几分钟后，甲第1次追上乙？●●乙甲甲的速度：80×1.25=100米/分（400－100）÷（100－80）=15（分）答：15分钟后，甲第一次追上乙。同一点出发，距离差=跑道长2如图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？250／分乙甲乙甲200／分250／分200／分（1）（2）•追上时间×速度之差=相差路程（跑道长）跑道长：45×（250－200）=2250（米）•相遇路程÷速度之和=相遇时间相遇时间：2250÷（250+200）=5（分钟）答：经过5分钟两人相遇。同一点出发，距离差=跑道长3.甲乙从360米的环形跑道上的同一地点同向跑步。甲每分钟跑305米，乙每分钟跑275米。两人起跑后，第一次相遇在离起点多少米处？360÷（305－275）=12（分）甲：305×12=3660（米）共跑的圈数：3660÷360=10（圈）……60（米）答：第一次相遇在离起点60米处。4下图是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端。小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行。他俩第1次在C点相遇，C点离A有50米；第2次在D点相遇，D离B有30米。问这个花园一周长多少米？B●●●●●ACD小军小勇分析：第1次相遇两人合起来走了半周长，从C点开始到D点相遇两人共走了一周长，两次共走了一周半。小军：ACD走了50米的3倍。50×3=150（米）半周：150－BD(30米)周长：（150－30）×2=240（米）答：这个花园一周长240米。5已知等边三角形ABC的周长为360米，甲从A点出发，按逆时针方向前进，每分钟走55米，乙从BC边上D点（距C点30米）出发，按顺时针方向前进，每分钟走50米。两人同时出发，几分钟相遇？当乙到达A点时，甲在哪条边上，离C点多远？ABCD甲甲乙两人的相遇时间：乙从D到A用的时间：（360÷3×2－30）÷（55+50）=2分210÷50=4.2(分)乙到A点时甲走的路程：55×4.2=231(米)这时甲在BC边上，离C点的距离：360÷3×2－231=9(米)90m6如图，一个边长为100米的正方形跑道。甲从A点出发，乙从C点出发都逆时针同时起跑，甲的速度每秒7米，乙的速度每秒5米。他们拐弯处都要停留5秒，当甲第一次追上乙时，乙跑了多少米？乙甲ADBC100米100米7米/秒5米/秒分析：甲乙相距200米（相差距离）。且甲第一次追及乙要多拐两个弯。即要多休息5+5=10秒钟。甲走的路程－乙走到路程=200米解：设甲纯跑步时间为x秒。则乙跑步的时间为x+10秒。7x－5（x+10）=200x=125甲跑的路程是：125×7=875（米）•当甲跑的800米时用时：800÷7+5×7≈149.28（秒）又离开A点。而乙到达A点再离开时用时：600÷5+5×6=150（秒）因此：从起跑到149.28秒至150秒的间隔内甲乙都在A点。所以：甲第一次追上乙，此时乙跑了600米。7一个圆的周长为1.44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行。1分钟后它们都调头而行，经过3分钟，它们又调头而行，依次按照1、3、5、7、…（连续奇数）分钟调头爬行。这两只蚂蚁每分钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米，那么，经过多少时间，它们初次相遇？再次相遇需要多少时间？AB分析：半圆的周长：1.44÷2=0.72米=72厘米折返情况如下表：如果不折返：72÷（5.5+3.5）=8分钟经过时间（分）在上半圆爬行时间在下半圆爬行时间1357911131512345678所以在15分钟的那次爬行中，两只蚂蚁在下半圆爬行刚好都是8分钟。•则它们从出发到初次相遇经过的时间是：•1+3+5+7+9+11+13+15=64分钟•第一次相遇在下半圆，折返向上半圆爬去，须爬行17分钟。去掉在下半圆的8分钟，在上半圆须爬行17－8=9分钟。但在上半圆爬行8分钟就会相遇，因此总时间用去了8+8=16分钟。•即：在第一次64分钟相遇后再过16分钟第二次相遇。•（相遇位置在上半圆）经过时间（分）在上半圆爬行时间在下半圆爬行时间16135791113151234567888.三个环形跑道相切排列，每个环形跑道的周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示的方向出发，甲爬虫绕1、2号环形跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环形跑道作“8”字形循环运动，甲、乙两只爬虫的速度分别是每分钟20、15厘米。问甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米？…●ACB●●123D•分析：•甲乙爬虫第一次相遇时，它们位于2号环形道的上方。它们共爬行了3个“半环形”。•第二次相遇时它们共爬行了5个“半环形”。•则相遇时间是：210÷2×5÷（20+15）=15（分）•即：甲爬虫爬行了：20×15=300（米）9.甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈，乙同时反方向跑，每隔15秒与甲相遇一次。问乙跑完一圈用多少秒？解：设乙跑完一圈用x秒。答：乙跑完一圈用24秒。115140x1+=X=241.有一条长500米的环形跑道。甲乙两人同时从跑道上某一点出发，反向而跑，1分钟后相遇；如果两人同向而跑，则10分钟后相遇，已知甲跑的比乙快，问甲乙两人每分钟各跑多少米？甲乙速度之和：500÷1=500（米/分）甲乙速度之差：500÷10=50（米）甲：答：甲每分钟跑275米，乙每分钟跑225米。（500+50）÷2=275（米/分）乙：500－275=225（米/分）2.小明在360米长的环形跑道上跑了一圈。已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么小明后一半路程用了多少秒？解：设小明跑一圈用x秒。(x÷2)×5+(x÷2)×4=360X=80前一半用时：180÷5=36（秒）后一半用时：80－36=44（秒）答：小明后一半路程用了44秒。3.绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发，反向而行，小王以4千米/时的速度每走1小时后休息5分钟；小张以6千米/时的速度每走50分钟后休息10分钟。问两人出发后多少时间第一次相遇？分析：假设小王走了2小时10分：4×2=8（千米）小张在这段时间走了：2×[(60－10)÷10]+1=11（千米）此时两人相距：24－8－11=5（千米）则现在相遇时间：5÷（6+4）=0.5（小时）=30分第一次相遇时间：2小时10分+30分=2小时40分。4.在400米环形跑道上，A、B两点相距100米。甲乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人跑100米，都要停10秒。那么甲追上乙需要多长时间？分析：如果不考虑休息时间则甲追上乙需要：100÷（5-4）=100（秒）100秒甲跑了：5×100=500（米）甲共休息了：5-1=4（次）4×10=40（秒）100秒乙跑了：4×100=400（米）乙共休息了：4×10=40（秒）所以甲追上乙需要100+40=140秒。5.在周长为200米的圆形跑道一条直径的两端，甲乙两人分别以6米/秒，5米/秒的速度同时同向出发，沿跑道行驶。问：16分钟内甲追上乙多少次？甲乙分析：16分钟=960秒16分钟甲比乙多走：960÷（6－5）=960米第一次追上乙只有100米。所以16分钟内可以追上：以后每一次追上要200米。（960－100）÷200=4（次）……60（米）4+1=5（次）•6.如图：某单位围墙外面的小路是边长300米的正方形，甲乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。已知甲每分钟走90米，乙分钟走70米，问至少经过多长时间甲才能看到乙？甲乙分析：甲追上乙一条边的时间：300÷（90－70）=15（分）15分钟甲走了：90×15=1350（米）走的边数：1350÷300=4.5（条）15分钟乙走了：70×15=1050（米）走的边数：1050÷300=3.5（条）两人相差一条边的距离甲只要再走0.5条边就和乙在同一条边上了。就能看到乙了。经过的时间：300×5÷90=16分40秒。•7.在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发，反向而行，8分钟后两人相遇。再过6分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，甲环形一周需要多少分钟？分析：因为第一次相遇到第二次相遇用时：10+6=16（分钟）从出发到两人第一次相遇用了8分钟。所以两人共行了半圈，即A到B是半圈。甲走半圈共用了：8+6=14（分钟）甲环形一周用时：14×2=28（分钟）•8.小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发，绕湖而行。小张速度是5.4千米/时，小王的速度是4.2千米/时，他们两人同方向行走，小李与他们反方向行走，半小时后小张与小李相遇，再过5分钟，小李与小王相遇。那么绕湖一周的行程是多少千米？分析：半小时后小王落后小张：5.4×0.5－4.2×0.5=0.6（千米）小王和小李5分钟共走了0.6千米。小王和小李从出发到相遇共用：30+5=35（分钟）绕湖一周的路程：0.6×（35÷5）=4.2（千米）简便计算循环小数转化为分数0.01+0.12+0.23+0.34+0.45+0.56+0.67+0.78+0.89··········