公开课-3.1.3空间向量的数量积运算 -

3.1.3空间向量的数量积运算禄劝一中林丽,,,mnlmlnl　如图、是平面内的两条相交直线如果　　求证：探究：问题探究nml1.空间向量的加减法运算（1）向量的加法：平行四边形法则三角形法则bababaa复习：（2）向量的减法:三角形法则baba复习：2.相等向量：方向且模的向量称为相等向量相同相等3.共面向量的基本定理：如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使。p=xa+ybAOBababab4．平面向量的夹角：复习：1）空间两个向量的夹角的定义思考：1、〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？2、〈a，b〉与〈a，－b〉相等吗？注意：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉3.1.3空间向量的数量积运算2）两个向量的数量积注：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.,cos,,,cos,abababababababab已知空间两个向量，则叫做向量的数量积，记作：即③数量积的几何意义：||cos,aababab的模||与在上投影的乘积②零向量与任意向量的数量积等于零。3)空间向量的数量积性质:对于非零向量，有：,ab2(1)cos,(2)0(3)abababababaaa（求角的依据）（证明垂直的依据）（求向量的长度的依据)4)空间向量的数量积满足的运算律1)()()()2)(3()(abababbaabcabac结合律交换律））分配律）下列命题成立吗?①若,则②若,则③abacbckababk()()abcabc思考:1.向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4，则a·b＝__________，a2＝__________，(a＋2b)·(a－b)＝__________.[解析]a·ba2＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×cos30°＝63；(a＋2b)·(a－b)＝＝|a|2＝9a2＋a·b－2b2＝9＋63－32＝63－23.2.222,,22abab已知,则ab与的夹角大小为_____.135题型一利用数量积求夹角如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．【例1】[思路探索]可先求向量OA→与BC→的夹角，再根据异面直线的夹角与向量的夹角之间的关系得出最后结果．解因BC→＝AC→－AB→，所以OA→·BC→＝OA→·AC→－OA→·AB→＝|OA→||AC→|cos〈OA→，AC→〉－|OA→||AB→|cos〈OA→，AB→〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝－162＋24.所以cos〈OA→，BC→〉＝OA→·BC→|OA→||BC→|＝24－1628×5＝3－225.即OA与BC所成角的余弦值为3－225.已知:如图,POPA、分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA，求证：lPAPOAla分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！题型二利用数量积证明垂直关系【例2】证明：例2已知:,,,POAOllOA射影且求证：lPA在直线l上取向量,只要证a0aPA()0aPAaPOOAaPOaOA,aPAl即PA.为POAla0,0aPOaOA例3:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果⊥m,⊥n,求证:⊥.llllmngngmllmngngml,gxmyn,lgxlmyln0,0,lmlm0,.lglg即,lgll即垂直于平面内任一直线..解:在内作不与m,n重合的任一直线g,在,,,lmng上取非零向量因m与n相交,故向量m,n,,,,lmng不平行,由共面向量定理,存在唯一实数,使(,)xy例3:已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果⊥m,⊥n,求证:⊥.lll如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．题型三利用数量积求两点间的距离【例4】[思路探索]利用|AC1→|2＝AC1→2＝(AB→＋AD→＋AA1→)2求解．解因为AC1→＝AB→＋AD→＋AA1→，所以AC1→2＝(AB→＋AD→＋AA1→)2＝AB→2＋AD→2＋AA1→2＋2(AB→·AD→＋AB→·AA1→＋AD→·AA1→)．因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，所以〈AB→，AD→〉＝90°，〈AB→，AA1→〉＝〈AD→，AA1→〉＝60°所以AC1→2＝1＋4＋9＋2(1×3×cos60°＋2×3×cos60°)＝23.因为AC1→2＝|AC1→|2，所以|AC1→|2＝23，|AC1→|＝23，即AC1＝23.规律方法利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝a·a求解即可．课堂小结：空间向量数量积：可利用数量积解决立体几何中的以下问题：1、求两直线所成角.2、证明两直线垂直;3、求两点之间的距离或线段长度;＝|a||b|cos〈a，b〉a·b作业P98A组345B组12ABA1C1B1C2.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成角的大小为()A.B.C.D.21057590603.已知在平行六面体中，,,求对角线的长。ABCDABCD4AB3,5,90,60ADAABADBAADAAACD'C'B'DABCA'B||85AC课后练习：