西安交大复变函数课件2解析函数-习题课

2一、重点与难点重点：难点：1.解析函数的概念；2.函数解析性的判别1.解析函数的概念；2.初等函数中的多值函数及主值的概念3二、内容提要复变函数导数微分解析函数初等解析函数指数函数三角函数对数函数幂函数性质解析函数的判定方法可导与微分的关系可导与解析的判定定理双曲函数41）导数的定义.)()(limdd)(,)(.)(,)()(lim,,,)(000000000000zzfzzfzwzfzzfzzfzzfzzfDzzDzDzfwzzzz记作的导数在这个极限值称为可导在那么就称存在如果极限的范围不出点点中的一为定义于区域设函数1.复变函数的导数与微分5.,)(可导称在区域内我们就内处处可导在区域如果函数DDzf定义2)可导与连续函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.3)求导公式与法则.,0)()1(为复常数其中cc.,)()2(1为正整数其中nnzznn).()()]()([)3(zgzfzgzf6).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf)0)((.)()()()()()()()5(2zgzgzgzfzgzfzgzf)().()()]}([{)6(zgwzgwfzgf其中0)(,)()(,)(1)()7(wwzzfwwzf且函数两个互为反函数的单值是与其中7则线性部分的的改变量是函数小的高阶无穷是式中则可导在设函数.)()(,)(,0)(lim,)()()()(,)(000000wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz.)(d,)()(000zzfwzzfwzzf记作的微分在点称为函数4)复变函数的微分.d)(zzf8.)(,00可微在则称函数的微分存在如果函数在zzfz.)(00可微是等价的可导与在在函数zzzfw.)(,)(内可微区域在则称内处处可微区域在如果函数DzfDzf可导与微分的关系91)定义.)(,)(000解析在那末称导的邻域内处处可及在如果函数zzfzzzf).()(.)(,)(全纯函数或正则函数个解析函数内的一区域是或称内解析区域在则称内每一点解析区域在如果函数DzfDzfDzf2.解析函数.)(,)(00的奇点为那末称不解析在如果函数zfzzzf10.)()()()(内解析在除去分母为零的点和、差、积、商的与内解析的两个函数在区域DzgzfDa.)]([,)(,.)(,)()(内解析在那末复合函数于都属的对应值函数内的每一个点对如果内解析平面上的区域在函数内解析平面上的区域在设函数DzgfwGhzgzDGhhfwDzzghb(c)所有多项式在复平面内处处解析.2)性质.,)()()(点奇使分母为零的点是它的为零的点的区域内解析在不含分母任何一个有理分式函数zQzPd11.,),(),(),(:)(),(),()(1xvyuyvxuyxyxvyxuyixzDzfDyxivyxuzf,,程该点满足柯西－黎曼方并且在可微在点与条件是可导的充要内一点在则内域定义在区设函数定理)RC(条件柯西－黎曼条件3)可导与解析的判定12.),(),(:),(),()(2程并且满足柯西－黎曼方内可微在与内解析的充要条件是域在其定义函数定理,DyxvyxuDyxivyxuzf:,),(),()(则其导数公式可导处在点若函数yixzyxivyxuzfyuixuxvixuzf)(.xviyvyuiyv134)解析函数的判定方法.,内是解析的在解析函数的定义断定则可根据内处处存在的导数在区域数导法则证实复变函如果能用求导公式与求DzfDzfa)()()(.)(,RC),(,)()(内解析在条件可以断定要那末根据解析函数的充方程并满足可微因而、连续的各一阶偏导数都存在内在中如果复变函数DzfvuDvuivuzfb143.初等解析函数1)指数函数.)sin(cos.的指数函数为称设zyiyeeiyxzxz定义;0,0,)(zxzeeeza则对任意复数性质;)(,)(zzzeezeb而且平面上处处解析在;)(2121zzzzeeec.2)(为周期的周期函数是以iedz152)三角函数.,2cos.,2sin余弦函数正弦函数定义称为称为izizizizeezieez.cos,sin)1(是偶函数是奇函数zz性质.cos)cos(,sin)sin(zzzz.cos)2cos(,sin)2sin(zzzz.sincos)3(zizeiz.π2)2(为周期以正弦函数和余弦函数都16(4)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.sin)(cos,cos)(sinzzzz.cossintan正切函数定义称为zzz.cos,sin,1cossin)5(22不是有界函数但zzzz).tan()tan(:tan)1(zzz是奇函数性质.tan)tan(:tan)2(zzz为周期的周期函数是以17其它复变三角函数的定义,sincoscotzzz余切函数,cos1eczzs正割函数.sin1csczz余割函数.cos1)(tantan)3(2zzz在解析区域有183)双曲函数.,2ch.,2sh双曲余弦函数双曲正弦函数定义称为称为zzzzeezeez;sh)sh(:sh)1(zzz是奇函数性质;ch)ch(:chzzz是偶函数;2ch,sh)2(为周期的周期函数都是以izz;sh)(ch,ch)(shzzzz且平面上处处解析在,ch,sh)3(zzz;1shch)4(22zz.ch)cos(,sh)sin()5(zizziiz194）对数函数.Ln,)()0(zwzfwzzew记为称为对数函数的函数满足方程因此zizzwArglnLnikziz2argln).,2,1,0(k所以支的数称为对数函其中),(Ln)arg(arglnln主值zzzizz).,2,1,0(2lnLnkikzz20.,,的一个分支称为可确定一个单值函数对于每一个固定的zkLn;Ln)1(是一个无穷多值的函数z性质;LnLnLn,LnLnLn,0,0)2(2121212121zzzzzzzzzz则设且处解析处实轴外在平面上除去原点和负,ln,)3(z.1)(lnzz215)幂函数:,0,的幂函数用下列等式定义对于是任意复数设zz定义).0(Lnzezwz.0,0,zz时补充规定是正实数时当;,lnLn.,)1(ln的主值称为幂函数时取主值当是一个无穷多值函数一般说来zezzzzz性质.)()2(1zz22三、典型例题.)(33仅在原点有导数证明函数iyxzf例1证zfzfz)0()(lim0iyxiyxyx330),(lim0)(lim220),(yxyixyx.00)(处的导数为在故zzf.在再证其他处的导数不存23)()()()(0030303300iyxiyxiyxiyxzzzfzf则沿路径若,0yyz030300)()(xxxxzzzfzf则沿路径若,0xxz)(3)()()(020030300yyyyyiiyiyzzzfzf当.)(,000的导数不存在否则故除非zfyx)(3020xxx当24例2函数在何处可导，何处解析.)2()()(222yxyixyxzf解,),(22xyxyxu;2,12yuxuyx,2),(2yxyyxv;22,2yxvyvyx.,xyyxvuvu故仅在直线上可导.)(zf21y,21)(,不解析上处处在直线由解析函数的定义知yzf故在复平面上处处不解析.)(zf时，当且仅当21y25例3设为解析函数，求的值.)(2323cxyxiybxaycba,,解设ivucxyxiybxayzf)()()(2323故2323,cxyxvybxayu,2bxyxu,2cxyyv,322cyxxv,322bxayyu由于解析，所以)(zfxvyuyvxu,即,22cbcxybxy3,3332222bcacyxbxay故.3,3,1cba26例4讨论函数在原点的可导性.0,00,)(21zzezfz01lim0)0()(lim)0(2100xexzfzffxz211lim0)0()(lim00yeyizfzfyz,0)0()(lim0zfzfz故在原点不可导.)(zf,0时趋于函数沿xz解当沿正虚轴趋于0时，有iyzz27设为平面上任意一定点,000iyxzz0000)Re(1)()(zzzzzzzfzf当点沿直线趋于时,有z)(0xiyxz0z00001)()(xxxxzzzfzf2解例5研究的可导性.zzzfRe)(28)(01)()(000yyizzzfzf,1当点沿直线趋于时,有z)(0yiyxz0z的任意性知处不可导且由在故00)(zzzf例5研究的可导性.zzzfRe)(.)(处处不可导zf29例6解方程0sinz解0212sin2izizizizieeieez12izeikizee22.kz),2,1,0(k30例7求出的值.2)2(解)2ln(22)2(e)2(2ln2kie]})12(2sin[])12(2{cos[2ln2kike),2,1,0(k31解例8试求函数值及其主值:ii1)1()1ln()1(1)1(iiieikiie242ln)1(2ln24242lnkike2ln4sin2ln4cos224iek),2,1,0(k令得主值:0k.2ln4sin2ln4cos2)1(4)1(ieii2ln24242lnkike32例9证明;2sin21sin2sin)sin(0nkyynynxkyx;2sin21sin2cos)cos(0nkyynynxkyx.02siny其中证,)cos(0nkkyxA令,)sin(0nkkyxB33nknkkyxikyxiBA00)sin()cos(则nkkyxie0)(nkikyixee0iyyniixeee11)1(2sin21sin2yyneeyniix.2sin21sin2sin2cosyynynxiynx实部与实部对应相等,虚部与虚部对应相等,命题得证.放映结束，按Esc退出.