差分方程的求解

计算机控制技术课程讲义1差分方程的求解差分方程求解方法有两种：(1)基于解析方法的Z变换法(2)基于计算机求解的迭代法用Z变换法求解差分方程较为简便，且可求得差分方程解的数学解析式。用Z变换法求解差分方程的步骤为：(1)对差分方程进行Z变换；(2)用Z变换的平移定理将时域差分方程转化为Z域差分方程，代入初始条件并求解；(3)将Z变换写成有理多项式的形式，再求Z反变换，得到差分方程的解。计算机控制技术课程讲义2例：用Z变换求解差分方程：1)1(,0)0(0)(2)1(3)2(yykykyky初始条件为：解：23)(z)z(Y)23zz(0)(2)]0()([3)]1()0()([0)](2[)]1(3[)]2([0)](2)1(3)2([Z2222zzzzYzYzyzzYzyyzzYzkyZkyZkyZkykykyZ所以代入初始条件得由超前定理可得由线性定理有变换得：方程两边做计算机控制技术课程讲义3,...2,1,0,)2()1()]([)(Z21)(2111231)(Z12kzYZkTyzzzzzYzzzzzzYkk变换表可得查则反变换，由于做计算机控制技术课程讲义44.5脉冲传递函数4.5.1基本概念脉冲传递函数的定义：在零初始条件下，线性定常系统输出采样信号的Z变换Y(z)与输入采样信号的Z变换R(z)之比，称为该系统的脉冲传递函数或Z传递函数，记为G(z),即变换输入脉冲序列的变换输出脉冲序列的ZZzRzYzG)()()(G(z)y(k)Y(z)r(k)R(z)单输入单输出离散系统方框图计算机控制技术课程讲义54.5.2脉冲传递函数与差分方程差分方程和脉冲函数是对系统特性的不同的数学描述，虽然形式不同，但本质一样，可互相转换n11m11011110z...1z...)()()(,......)()()(nmnnnmmmazabzbbzRzYzGnmazazbzbzbzRzYzG等效为一、离散系统的脉冲传递函数：):r:(......221102211输入输出，分方程通式为：一个线性离散系统的差yrbrbrbrbyayayaymkmkkknknkkk对上式两边作Z变换，并利用延迟定理，有：计算机控制技术课程讲义6若已知离散系统的脉冲传递函数，同样也可得到相应的差分方程，将上式交叉相乘，则得)()...()()...1(11011zRzbzbbzYzazammnn再对函数Y(z)和R(z)进行Z反变换，得到各自的离散形式y(kT)和r(kT)，而z的负幂表示延迟因子，因此可得到相应的n阶差分方程。计算机控制技术课程讲义7二、连续系统的脉冲传递函数所谓连续系统的脉冲传递函数是指连续系统的输入与输出采样函数Z变换之比，即：在输出端虚设一采样开关，对输出的连续时间信号做假想采样，采样周期与输入端采样开关的周期T相同。G(s)G(z)y*(t)y(t)r(t)r*(t)TT实际采样系统G(Z)等价离散系统R(z)Y(z)计算机控制技术课程讲义8如果已知采样系统的连续传递函数G(s),并且当其输入端加入虚拟开关变为离散系统时，采样系统的脉冲传递函数求解步骤为：1.对连续传递函数G(s)进行拉氏变换，求出脉冲响应函数g(t)=L-1[G(s)]2.求出g(t)的采样函数g*(t)3.对g*(t)进行Z变换，求得该系统的脉冲传递函数G(z)0)()()(*kkTtkTgtg0)()](*[)(kkzkTgtgZzG脉冲传递函数还可由G(s)经部分分式法，直接查找Z变换和拉普拉斯变换对应表求得。计算机控制技术课程讲义9例：已知采样系统的连续传递函数为：)10(10)(sssG试求该系统的脉冲传递函数G(z)解：))(1()1(z1z1)z(G101s1G(s)))(1()1(1e)(1)](*[)(]e)(1[)(*e)t(1]10s1s1[L])10s(s10[L)t(g1010101010100010t010t10t11-TTTTTTkkkkkkezzezezsezzezezzzzzzkTtgZzGzkTtg直接查表得：方法二：方法一：则由已知条件可得：计算机控制技术课程讲义104.5.3开环脉冲传递函数一、连续系统串联环节方框图G1(s)G2(s)R(s)Y(s))()()()()(21sGsGsRsYsG但是，对离散系统而言，串联环节的脉冲传递函数不一定如此，这由各环节之间有无同步采样开关来确定计算机控制技术课程讲义11二、离散系统串联环节1、串联各环节之间有采样器的情况G1(s))(sR)(*sR)(sD)(*sD)(*sY)(sYT)(zG)(1zG)(2zG)()()(1zRzGzD)()()()()()(212zRzGzGzDzGzY)()()()()(21zGzGzRzYzG脉冲传递函数等于两个环节的脉冲传递函数之积。TG2(s)计算机控制技术课程讲义122、串联各环节之间无采样器的情况G2(s)G1(s))(sR)(*sR)(sD)(*sY)(sYT)(zG)()()()()()(2121zGGsGsGZzRzCzG没有采样开关分隔的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数为这两个环节的传递函数相乘之积的Z变换。计算机控制技术课程讲义13例设asasGssG)(,1)(21aTezazzzzGzGzG1)()()(21))(1()1()()]()([)(21aTaTezzezassaZsGsGZzG两个环节串联，分别求出中间有采样开关和无采样开关时系统的开环脉冲传递函数。解：两个环节中间有采样开关时两个环节中间无采样开关时)()()(2121zGGzGzG计算机控制技术课程讲义14三、有零阶保持器的开环脉冲传递函数零阶保持器的传递函数为Gh(s)=seTs1seTs1G(s)带有零阶保持器的控制系统方框图采样后经零阶保持器相当于串联环节之间无采样开关的情况])([1)](1[)1()](1[)](1[])(1[)](1[)](1[)]()([)(11ssGZzzsGsZzsGsZzsGsZesGsZsGsZsGseZsGsGhZzGTsTs计算机控制技术课程讲义154.5.4采样系统的闭环脉冲传递函数)(zR)(*zE)(*zY)(zYT)(zG)(zH)()()z(zBzRE误差为：)()()(zEzGzY)(1)()()(zGHzGzRzY)(zE)()()(zEzGHzB反馈为：B(z)计算机控制技术课程讲义16)(1)()()(zGHzGzRzY)(11)()(zGHzRzE闭环脉冲传递函数误差脉冲传递函数对于单位反馈系统)(1)()()(zGzGzRzY)(11)()(zGzRzE闭环脉冲传递函数误差脉冲传递函数计算机控制技术课程讲义17例：已知采样控制系统如下图，求计算系统的闭环脉冲传递函数解：)1(10ssy(t)Y(z)r(t)+—系统开环脉冲传递函数为：计算机控制技术课程讲义184.6方框图及其分析脉冲传递函数也可用方块图表示，增加一个部件——采样开关4.6.1采样开关位置与脉冲传递函数的关系1、连续输入，连续输出2、连续输入，离散输出3、离散输入，离散输出4、离散输入，连续输出例：方框图分析例1、例2、