汽车振动学――第十讲(多自由度系统的振动)

第九讲汽车振动学第十讲2009年10月12日一、多自由度系统及其固有特性1、多自由度系统振动微分方程的建立2、多自由度系统的固有特性二、无阻尼多自由度系统的模态分析1、模态的正交性、主坐标和正则坐标2、无阻尼系统的自由振动响应3、无阻尼系统的受迫振动响应三、比例阻尼和实模态分析＊四、非比例阻尼和复模态分析＊五、车身和车桥的自由振动第四章多自由度系统的振动一、多自由度系统及其固有特性1、多自由度系统振动微分方程的建立2、多自由度系统的固有特性多自由度系统的固有频率和主振型可由系统的无阻尼振动微分方程的特征值问题求得。将方程通解及其二阶导数代入，并消去得主振型方程，即2()0nKMAnite0KXXM（1）固有频率和主振型的精确计算——广义特征值问题令，称为特征矩阵。2nHKM22211111212112222212122222222211220nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnkmkmkmkmkmkmHKMkmkmkm假设方程的通解形式，nitXAe主振型方程存在非零解的条件是其系数矩阵的行列式等于零，即特征方程2、多自由度系统的固有特性TnAAAA,,,21其中由于特征矩阵奇异，即，所以不能确定各振型向量分量的绝对数值，但可以确定它们的相对比值，而且是固定不变的，用表示，即()()()()()()()213111iiiiiiinAAAAAAA0H()iA显然，它与向量形态相同，仅差倍数。TiniiiAAAA)()(2)(1)(从而得到固有频率222120nnnn已知系统的特征矩阵，则主振型方程为2nHKM0HAHadjHH1代入振型方程可以得到与对应的非零向量称之为振型向量，它描绘了系统各质点的振动位移的一种形态，也称为主模态。TiniiiAAAA)()(2)(1)(ni特征值实际上，主振型也可采用伴随矩阵的方法进行求解。又特征矩阵的逆矩阵为式中，为特征矩阵的伴随矩阵。adjHH由于，所以不存在，但0H1H10HHadjHHHHHadjHH可见，特征向量与伴随矩阵的任意非零列向量成比例。AadjH如果系统振动方程由位移形式给出，即，0XXFM假设方程的通解形式，得振型方程。nitXAe21()0nFMIA令，也称为特征矩阵。21nLFMI同理，解特征方程，得到特征根及对应的特征向量，从而求得固有频率及主振型。210nLFMI0HA而综上所述，求振动系统的固有特性问题就是求系统的特征值问题。21()0nFMIA2()0nKMA12()0nMKIA0)(AID对于由质量阵和刚度阵表达的力方程，0KXXM对于由质量阵和柔度阵表达的位移方程，0XXFM1211nniniiiitrDD其中，、、分别为动力矩阵、特征值、特征向量。DA12,nDMK这里21,nDFM这里121niniD一般标准表达形式行列式的迹有有求图所示振动系统的动力矩阵、固有频率和主振型，画出振型图。12222333340302003kkkkkKkkkkkkkkkkkkmmmM000000mmmM1000100011例题4-6（教材例题4.10）0MXKX系统的振动微分方程：1DMK动力矩阵10030310010212100103013mkkkDmkkkmmkk8ktrDm312kDm且22230203nnnkmkkkmkkkm2nHKM222()(3)(4)0nnnkmkmkm特征矩阵20nHKM将（频率方程或特征方程）展开，得整理后22222(2)(3)2(3)0nnnkmkmkkm222123348nnnkkkkmmmm32221233412nnnkkkkmmmm22212334nnnkkkmmm将代入振型方程，即21nkm2(1)1()nHAKMA解上述方程得特征根验证特征值2(1)(1)1112(1)(1)1222(1)(1)1333020200302nnnkmkAkkAkkmkAkkkAkkmAkkAtrDD22222222222222(2)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(2)(3)nnnnnnnnnkmkmkkkmkadjHkkmkmkkmkkkmkmkmk(1)121A(3)111A令，则得到，所以1)1(1A1,2)1(3)1(2AATA121)1(同理可得和TA101)2(TA111)3(画出振型图，如右图所示。采用伴随矩阵可得同样结果：adjH振型向量(2)101A思考1：思考2：如将上题中振系一端的弹簧都断开，结果如何？如将上题中振系两端的弹簧都断开，结果又如何？kkkkkkkK020mmmM000000321000000mmmM33332222100kkkkkkkkkK20nKMA121nAKMADA()()()21(1,2,,)iiiiniAADAin（2）固有特性的近似计算*（教材第五章多自由系统固有特性的近似计算）①矩阵迭代法可以求各阶固有频率及振型向量即30203kkKkkkkkmmmM0000001531139312135Kk153139312135mDKMk举例（教材P103）151310231516513)1(44Akm1112211211)1(22Akm11292551132129)1(33Akm19151129)1(11Akm19985.119981.0)1(55Akm19996.119996.0)1(66Akm取任意的初始归一化向量，计算，比较和，如不等，则继续迭代；(1)0DA归一化(1)11A(1)0A(1)1A计算，比较和，如不等，则继续迭代；(1)1DA归一化(1)22A(1)1A(1)2A以此类推，直至相等。同样道理，可以求得第二阶固有频率和振型，只是要先求得清型矩阵，使得第二阶在迭代过程中起主导作用。(1)0111TA不妨取()()()21(1,2,,)iiiiniAADAin如果把振型向量扩展成截断的振型矩阵，即阶矩阵，上式仍然成立nr12(1)(2)()rrBAAA②子空间迭代法适合求前几阶固有频率及振型向量20nKMB1BKMB这里取r个归一化的线性无关的n维向量，构成阶矩阵，作为初始矩阵nr000B110KMB归一化111111TTMMKK111111YKMY归一化111BY不断重复上述过程，直至得到N次迭代近似矩阵与，则，而NBNNBAN12TTxMx12TVxKx2max12TnTAMA用于估算系统的基频，且得到的基频量值总是大于实际值。③瑞利能量法第一瑞利商但要假设一个比较合理的振型。多自由度系统的动能和势能对于谐波振动，有max12TVAKAsinnxAt则21TnTAKARAMA对于保守系统，有，maxmaxTV所以1122TTTTnTTTTMAKAFMFAFAAFAAMARAMAAMAAMAAMFMA如果系统的柔度阵存在第二瑞利商22222222211111122212111nniniiniiinnnnniiiicccRccc(1)(2)()()121nniNNnNiNNiAcAcAcAcAAC12(,,,)TnCccc由于振型向量总是可以表示为正则振型向量的线性组合，即是非零常数列向量，可以由振型正交条件求出。即()()iTiNcAMA22222211211222121111nniiiinnnniiiiiicccRccc222122211111niiniiicccc22222112221111niniinniicccc1niitrDtrFM12nnnn12n1211ntrDtrFM④邓克莱法（也称迹法）用于初步估算系统的基频，且得到的基频量值偏小。利用柔度矩阵表示的特征方程。211ninitrDtrFM因为即且故有则可近似地得到⑤传递矩阵法适用于链式结构系统，利用质量和弹性单元传递矩阵构造系统传递矩阵。单元的传递矩阵2101miinCm2101JiinCJ11/01ikikC单元元件作用力关系式位移关系式传递矩阵质点质量圆盘质量线性弹簧扭杆弹簧11/01ikikCiinLiRixmFF2iinLiRiJMM2iLiRixxxiLiRiLiRiFFLiRiMMiRiLiRikFxxiRiLiRikM例题4-7（教材例题5.7）12100RLLsNNNxxxCCCCCFFF00xF00xF系统传递矩阵边界条件自由端：固定端：根据系统的传递关系，结合边界条件，可以得到关于频率的多项式方程，从而求得固有频率，进而得到振型向量。k1J2J用传递矩阵法，求图示系统的固有频率和主振型。212121JkJCCCMM212242121221/1//1/nnnnnJkkJJJJkJk22101nJ21101nJ11/01k11M10120MM20121212()0nnkJJJJ二、无阻尼多自由度系统的模态分析1、模态的正交性、主坐标和正则坐标2、无阻尼系统的自由振动模态分析3、无阻尼系统的受迫振动模态分析()()()()??iTiiTiAMAAKA()()()()??jTijTiAMAAKA()ij30203kkKkkkkkmmmM000000(1)121A(3)111A(2)101A讨论：22212334nnnkkkmmm(1)(2)0011210000001TmAMAmm(2)(3)0011010010001TmAMAmm(1)(3)0011210010001TmAMA