热传导方程的混合问题

1《偏微分方程教程》第五章抛物型方程2§2热传导方程的混合问题【知识点提示】半直线上的热传导方程，有限区间上的热传导方程，热的反射，分离变量法。【重、难点提示】求解齐次和非齐次热传导方程的混合问题。【教学目的】熟练地掌握热的反射求解半直线上的热传导方程，分离变量法求解有限区间上的热传导方程。.32.1半直线上的热传导方程与热的反射(2.1)考虑侧表面绝热的均匀细杆,当细杆的一端固定,初始温度与细杆在固定端点的温度,则杆上的温度分布并已知()uxt满足如下混合问题2(),00(0)()0,(0)(),0.txxuaufxtxtuxxxuttt为了更清楚讨论热的反射,我们仅考虑()0()0fxtt即考虑混合问题的情形,2000,(0)()0(0)00txxuauxtuxxxutt(2.2)4引理5.3对Cauchy问题(1.1),(1.2),若初始数据()x是关于某点0x的奇函数,即00()()xxxx,则Cauchy问题(1.1),(1.2)的解对任意的时间t在点0()xt处有0()0uxt证不失一般性,可设00x此时()()xx.由Poisson公式(1.11),有2241(0)()2yatuteydyat由于被积函数关于y是奇函数,故上式中的积分为零,即(0)0ut为了应用Poisson公式(1.11)解混合问题(2.2),根据引理5.3我们把初始数据()x作奇延拓()0()()0.xxxxx(2.3)这时Cauchy问题(1.1),(2.3)的解可由Poisson公式(1.11)表示为5(2.4)2()2422()()224422()()22440001()()21()()21()().2xyatxyxyatatxyxyatatuxteydyateydyeydyateeydyat由引理5.3,我们立即获得混合问题(2.2)的解为22()()224401()()()2xyxyatatuxteeydyat用类似的方法，我们能考虑如下第二边值问题2000(0)()0(0)00txxxuauxtuxxxutt(2.5)与引理5.3相对应,我们有如下结果.6引理5.4对Cauchy问题(1.1),(1.2),若初始数据()x的偶函数,即00()()xxxx则Cauchy问题(1.1),(1.2)的解对任意的时间t在点0()xt处有0()0xuxt证明类似于引理5.3,从略.现在我们偶延拓(2.5)中的()x()0()()0xxxxx(2.6)这时Cauchy问题(1.1),(2.6)的解可由Poisson公式(1.11)表示为2()2422()()224422()()22440001()()21()()21()().2xyatxyxyatatxyxyatatuxteydyateydyeydyateeydyat7由引理5.4,我们获得混合问题(2.5)的解为22()()224401()()()2xyxyatatuxteeydyat(2.7)注1对于问题(2.1),首先我们令()()()vxtuxtt,则(2.1)化为200()(),()(0)0.txxtxvavfxttvxv(2.8)由叠加原理,(2.8)的求解可分解为如下两个问题的求解：2000()(0)0txxtxvavvxv(I)(II)200()()00.txxtxvavfxttvv问题(I)的求解在前面已经讨论.问题(II)的求解可借用问题(2.2)的求解及齐次化原理获得.8注2如果我们令()()()vxtuxttx,那么我们也可以讨论如下第二边值问题：2()00(0)()0,(0)()0txxxuaufxtxtuxxxuttt(2.9)92.2有限区间上的热传导方程与分离变量法我们将用分离变量法在矩形{00}xltT上,求一个函数()uxt使它满足热传导方程2()00txxuaufxtxltT及初始条件0()0tuxxl(2.11)和边界条件012()()0xxlututtT(2.12)这里假定函数1()()()fxtxt和2()t都是连续的,且满足相容性条件：如同讨论波动方程的情形一样,这里泛定方程和定解条件都是线性12(0)(0)()(0)l的,所以混合问题(2.10)-(2.12)可由以下定解问题10(I)200000()000txxtxxluauxltuxxluut(II)200()000000txxtxxluaufxtxltuxluut和20012000,00,()()0txxtxxluauxltuxlututt(III)叠加而成.因此,如果函数1u,2u和3u分别是定解问题(I),(II)和（III）的解,则原定解问题的解就可写成123uuuu对于定解问题(I)我们可用分离变量法求解,假定解的形式为()()()uxtXxTt11代入(I)中的方程,得2()()()()TtXxaTtXx于是有2()()0TtaTt(2.13)()()0XxXx(2.14)先考虑方程(2.14),由(I)中的边界条件推知,()Xx应满足边界条件(0)0()0XXl(2.15)如同第四章§4所述,只有0,特征值问题(2.14),(2.15)才有非平凡解,此时特征值取值为212nnnl(2.16)与其相对应的特征函数为()sinnnnxXxBl再将(2.16)代入方程(2.13),得122222()()0anTtTtl它的解是2()()anltnnTtCe(2.18)于是,所有函数2()()()()sin12anltnnnnnxuxtXxTtAenl都是满足问题（I）中的方程及边界条件的非平凡解,其中nnnABC为任意常数.为了求出问题(I)的解,考虑级数2()1()sinanltnnnxuxtAel(2.19)我们希望它满足初始条件1(0)sin()nnnxuxAxl这时只要()x可在[0]l上展成以02()sinlnnxAxdxll(2.20)为系数的正弦Fourier级数即可.现在将(2.20)代入(2.19),我们就13得到混合问题(I)的形式解为2()012()(()sin)sinanlltnnnxuxtdelll(2.21)下面我们证明由(2.21)定义的函数()uxt确实是问题(I)的解.定理5.3设1([0])Cl,且(0)()0l,则由级数(2.21)定义的函数就是混合问题(I)的解.证先证明形式解(2.21)满足方程.由于1()([0])xCl,从而有界,于是存在正常数M使得nAM,故对任意的00t,当0tt时有220()()sinnanallttnnxAeMel而数项级数20()1naltne收敛,因此,级数(2.21)在且绝对收敛,所以函数内内闭一致收敛()uxt在内是连续的.对t逐项微分级数(2.21),得级数2()21()sinnalttnnnanxuAell(2.22)14而对x逐项微分级数(2.21)两次所得级数是2()21()sinnaltxxnnnnxuAell(2.23)由于当0tt时,有22022()()sinnanallttnnbnxnbAeMelll其中ba或1.由于数项级数202()1naltnblne收敛,所以级数(2.22)和(2.23)在区域00xlt内闭一致收敛且绝对收敛.从而级数(2.21)是逐项可微的.由(2.22)和(2.23)立即得到20txxuau其次证明由(2.21)所确定的函数()uxt满足定解条件.关于初始条件,在定理的假设下1()sin0nnnxxAxll是一致且绝对收敛的.根据阿贝尔(Abel)判别法,这个级数的项与单调下降且一致有界的序列2()nalte的项的乘积所构成的级数对t是一致收敛的.所以级数(2.21)在区域00xlt上是一致收敛的.15于是函数()uxt在区域{00}xltT上连续,即满足初始条件(0)()0uxxxl关于边界条件,由于函数()uxt在上连续,故函数()uxt在0x和xl处都是连续的.因而对所有的0t,都有(0)0()0utult定理证毕.对于定解问题(II),如同波动方程的情形一样,也可通过齐次化原理,把它化为齐次方程问题求解(可参见引理5.2).这里我们采用所谓特征函数法,它类似于常微分方程中的常数变易法.设想定解问题(II)具有形如1()()sinnnnxuxtTtl(2.24)的解,其中()nTt是待定函数.为了确定()nTt,将自由项()fxt展成x的Fourier正弦级数1()()sinnnnxfxtftl(2.25)16其中02()()sinlnnxftfxtdxll将(2.24)和(2.25)代入方程(2.10),得21()()()sin0nnnnnanxtTtftTll由此即得2()()()12nnnnatTtftnTl(2.26)再利用(II)中的初始条件00tu,有1(0)(0)sin0nnnxuxTl于是()nTt的初始条件应为(0)012nTn(2.27)现在对定解问题(2.26),(2.27)求解,便得2()()0()()nalttnnTtefd将()nTt的表达式代入(2.24),即得172()()01()(())sinnalttnnnxuxtefdl(2.28)定理5.4假定函数()fxt及它的一阶偏导数在内连续,且对所有的0t,都有(0)()0ftflt,则由(2.28)确定的函数()uxt就是定解问题(II)的解.最后,对于定解问题(III)我们只须令()()()uxtvxtUxt其中121()()(()())xlUxtttt则问题(III)化成如下混合问题2101210(),(0)(0)(0),0txxtxxlvavfxtxvlvv其中1()()tfxtUxt.而这个定解问题又可写成上面讨论过的定解问题(I)和(II)的叠加.18例1求解混合问题200()(),,txxtxxluaurKuuFxuuK其中a,r和K都是