量子第三讲

一、德布罗意波德布罗意假设:实物粒子具有波粒二象性描述波动性的物理量:、描述粒子性的物理量:pE、基本关系式为:hphE二、概率波基本假设之一1926年玻恩提出波函数的概率诠释:我们用波函数)(tx，来描述德布洛意波，则2)(tx，正比于粒子在该处出现的概率。德布洛意波----概率波波函数)(tx，----概率幅量子力学基本假设之一微观粒子体系的状态，完全由波函数)(tx，来描写，波函数)(tx，也称为概率幅。t时刻，在dxxx~范围内找到粒子的概率正比于。，dxtx2)(三、决定性和统计性力学量:在经典力学中我们讨论的位置r、动量p、能量E、角动量L等物理量。经典力学----状态可以用力学量的值完全确定下来----决定性的规律量子力学----状态用某个力学量取各种可能值的概率，即它的概率分布来确定----统计性的规律量子力学中，2代表了x的概率分布，所以可用来确定量子状态，因此又把称为态函数。量子态叠加原理如果、、、321是体系的可能状态，它们的线性叠加nnnCCCC332211也是体系的一个可能状态。其中、、、321CCC是复常数。----量子态叠加原理用电子的双缝干涉实验说明量子态叠加原理122P1P只打开第一个缝，屏上的衍射条纹分布:21只打开第二个缝，屏上的衍射条纹分布:22同时打开，对于经典的粒子:22212对于具有波动性的微观粒子:*212*122212212概率幅的性质1.概率密度若三维空间的概率幅为)(tzyx、、、子在V~V+dV空间出现概率为:dVtzyxdw2)(、、、，则粒有限大体积V中粒子出现的概率为:VdVtzyxw2)(、、、因而2)(tzyx、、、称为概率密度。概率幅应单值、有限和连续----标准条件2.归一化粒子在全空间V中出现的概率应为1，则:1)(2VdVtzyx、、、----归一化条件若概率幅没有归一化，即:CdVtzyxV2)(、、、则:1)(12VdVtzyxC、、、所以:C/1----归一化常数例题:若一个电子的概率幅为axxaxxaAx或，，000sin)(求归一化常数A的值。解:若A是归一化常数，则在全空间粒子出现概率为1，则:1sin)()(022022aadxxaAdxxdxxaAaA21221927年海森堡进一步提出测不准关系（或者称为不确定关系）x·P~ħt·E~ħ式中，h为普朗克常数。不确定性关系简介用电子衍射说明不确定关系yxhpbo电子经过缝时的位置不确定:bx一级暗纹衍射角为:bsin电子经过缝后，x方向动量不确定:xhbpppxsinhpxx考虑所有衍射次级有:hpxx量子力学精确计算:212121zyxpzpypx----不确定性关系粒子的位置和动量不能同时确定。位置越精确,即x越小，将使得动量越不确定，即P越大。相反，粒子的动量越确定，即P越小，则x越大，即位置越不确定。由于测不准关系的存在，电子的位置和动量（速度）不可能同时精确确定，因此电子没有轨道，玻尔的轨道模型应该修改。能量量子化对应的不是电子轨道，那么对应的是什么呢？研究表明，原子核外的电子虽然没有轨道，但也有一定的分布规律，它们以几率波的形式分布在核外空间，呈现为“电子云”。电子云能量量子化的不同“能级”，对应的不是“轨道”，而是不同的“电子云”状态。“能量量子化”是从量子力学自然导出的结论，而不像“轨道量子化”那样，是玻尔强加在经典力学上的一个不自然的限制。正如量子力学可以看作玻尔模型的发展一样，“能量量子化”也可以看作“轨道量子化”的发展。同年，玻尔更进一步提出互补原理，认为“观测”将不可避免地干扰“观测对象”。经典的决定论的因果律在量子系统中不再成立，我们只能了解粒子出现的概率，不能确定某个粒子是否一定出现。玻尔把玻恩、海森堡的观点提高到哲学的高度，这就是量子力学的统计解释或几率解释。电子的双缝干涉实验122P1P哥本哈根学派对量子力学的上述解释，遭到爱因斯坦、德布罗意、薛定谔等人猛烈的攻击。他们无论如何也不相信，人们只能知道粒子出现的几率，而不可能知道粒子是否一定会出现。爱因斯坦说了一句名言：“上帝是不掷骰子的”。哥本哈根学派的人则反问：“谁告诉爱因斯坦，上帝不掷骰子？”他们还嘲讽薛定谔，说：“看来薛定谔方程比薛定谔本人更聪明”。对于量子力学物理解释的争论，至今尚未结束，似乎哥本哈根学派的观点略占上风，但反对意见依然存在，进入21世纪之后，“多世界理论”、“隐变量”、“退相干”、“多历史”、“自发局域化”等诸多流派仍在对哥本哈根学派提出挑战。哥廷根量子力学的基本假设之二微观低速(非相对论性)体系的波函数满足薛定谔方程一维薛定谔方程:ttxitxtxUxtx)()()()(2222，，，，三维薛定谔方程:titzyxUzyx)(22222222，，，引入拉普拉斯算符2222222zyx则:tiU222一维的自由粒子的波函数平面简谐波的波函数为:txAtx22cos)(，代入德布罗意关系式有:EthxphAtxx22cos)(，进一步研究表明，要物理上更为合理，应使用复数形式:EtxpixAetx)(，薛定谔方程的建立一维自由粒子波函数:EtxpixAetx)(，波函数对x求偏导，并乘i得:xEtxpipxAeixtxix)(，xPxi再次运算:2222)(xpxxtxixi，将上式除以2，得:222222xpx粒子的质量将波函数对求导，并乘以:EAetitiEtxpix一维自由粒子势能为零，则:22xkpEE则:tiEpxx222222即得自由粒子的薛定谔方程ti在经典力学中，粒子能量关系式为:UpUEExk22做替换:tiExipx，作用在波函数上得薛定谔方程:ttxitxtxUxtx)()()()(2222，，，，三维薛定谔方程:tiU222一、定态问题当薛定谔方程中U与时间无关只是坐标的函数的情况称为定态问题。分离变量法)()((tfzyxtzyx，，），，，代入薛定谔方程为:)()(222ftifUf等式两边同除f得:fftiffUf)()(222整理得:ffdtdiU222等式恒成立条件同等于一个常量EffdtdiEU222--------①------------②由②式可得:EtiCefEdtifdfEffdtdi则粒子波函数为:Etiezyxtzyx)((，，），，，这个波函数与时间的关系是正弦式的，其角频率是ω=Ε/ħ按照德布罗意关系E=hν=ħω，E就是该体系处于这个波函数所描写状态时的能量。e^ix=cosx+isinx定态的含义:1.粒子的概率密度与时间无关；***2EtiEtiee2.该状态下粒子具有确定的能量。四、定态的性质1、粒子在空间几率密度以及几率流密度与时间无关；2、任何不显含t的力学量平均值与t无关；3、任何不显含t的力学量的测值几率分布也不随时间变化。如果对于同一E值，存在几个线性无关的函数，满足同一定态方程，这种情况称为简并，其中线性无关函数的个数则称为对应能级的简并度。定态薛定谔方程一维:EUdxd2222三维:EU222用薛定谔方程研究氢原子，求得的氢原子能级是分立的，可以很好地解释氢原子的光谱。用薛定谔方程求解线性谐振子的问题，得到线性谐振子的能级也是分立的。这与经典粒子的能量连续是截然不同的物理图像，称为能量的量子化，是微观世界普遍而重要的特征。氢原子二、势阱1.无限深方势阱及能量本征值axxaxxU，，，000)(0UUUOxU00解:定态问题，满足定态薛定谔方程，则:axxEdxxd0)()(2222，粒子能量0kEE令2/2Ek，则:0)()(222xkdxxd0)()(222xkdxxdkxBkxAcossin通解:kxBkxAcossin波函数连续，则:0)(0)0(a，0sin)(000cos0sin)0(kaAaBBA由此可得:、、、，321nank所以:xanAxsin)(归一化:1sin)(0222adxxanAdxx解得:aA/2所以方程的解为:axxaxxanax，，，000sin2)(粒子的能量:、、、，32122222222nankEn无限深方势阱中粒子能量是量子化的，本征值为:、、、，32122222nanEn对应的本征函数为:xanansin2式中n为能量量子数能量的本征方程:EUdxd2222常用的物理概念1.量子化:不连续取值的特征2.本征值:物理量的可能取值3.本征函数:与本征值对应波函数4.量子数:标志物理量取不连续的数5.量子态:可用量子数来代表的状态6.能级:把能量nE按其值顺序排列形成能级能量最小的能级:基态其他能级:激发态0x2aa4nn2nxanAxπsin)(xanaxπsin2)(223n2n1n0x2aa116E19E14E1E设有两个不同的定态:tEimtEinmneamatxeanatxsin2)(sin2)(，，则由态叠加原理可知mnCCtx21)(，薛定谔方程的解，也是粒子可能出现的一种状态，也是但一般不再是定态了。2222)(mnaatx，xamxan22sinsintEExanxanmncossinsin2随时间变化2.有限深方势阱2220)(0axUaxaxU，，Ox0UU当00UE时，在势阱外有:0)(2202220222EUdxdEUdxd令)(2022EUk则:0222kdxd通解:xkxkeBeA2ax和2ax时，有限，则:22axeBaxeAxkxk，，在势阱内，有:kxBkxAxEdxxdcossin)()(2222由标准条件，波函数在2ax处连续，可以求出能量本征值是离散的。当0UE时，在势阱内、外有:0)(2202220222EUdxdEUdxd势阱内:)(20022222UEkkdxd势阱外:Ekkdxd2222220所以在各个区域方程的解均为sinkx和coskx的形式，粒子可以在无限远处被发现，即:在x时，有限但不趋于零，这称为自由态或散射态。若粒子被限制在有限空间里，即:当x时0的状态被称为束缚