高中数学说题课件

数学说题各位评委、老师，您们好：我今天要说的题目是3号题，试题考查的是数列及不等式内容，数列与不等式是高中数学最重要的内容之一，也是高等数学的基础，在教学和高考中占有重要的地位，属于每年的必考内容。本题难度是中等偏难，属于中高档分。原题：设各项均为正数的数列na的前n项和为ns，已知3122aaa，数列ns是公差为d的等差数列。（1）求数列na的通项公式（用n，d表示）（2）设c为实数，对满足knm3且nm的任意正整数，不等式knmcsss都成立，试求c的取值范围。题目分析题目来源、背景及推广题目条件与结论知识点及课标要求数学思想方法题目典型性说明解题分析策略分析解题过程及评价变式与拓展教学启发一、题目分析第①：显性条件：正数的数列na；3122aaa；数列ns是公差为d的等差数列；结论为求na即已知ns求na的类型，属于基本题型，但代数推理能力要求较高。1、题目的条件和结论第②：隐含条件：0d，显性条件：对满足knm3且nm的任意正整数，不等式knmcsss恒成立，求参数c的范围即为不等式恒成立问题，属于开放型题，考查探究能力，综合运用知识的能力。已知求证解题关键条件信息一、题目分析原题：设各项均为正数的数列na的前n项和为ns，已知3122aaa，数列ns是公差为d的等差数列。（1）求数列na的通项公式（用n，d表示）（2）设c为实数，对满足knm3且nm的任意正整数，不等式knmcsss都成立，试求c的取值范围。2010年江苏高考题第19题：设各项均为正数的数列na的前n项和为ns，已知3122aaa，数列ns是公差为d的等差数列。（1）求数列na的通项公式（用n，d表示）（2）设c为实数，对满足knm3且nm的任意正整数，不等式knmcsss都成立，求证c的最大值是292、题目来源、背景及推广一、题目分析背景：本题（1）问实质是研究一个特殊等差数列的性质：前n项和为2)(bansn的正项数列na，若,0b则na从第2项开始为等差数列，若0b，则数列na为等差数列。推广2：（第②问的推广）设c为实数，对满足tknm（t为非零常数）且nm的任意正整数，不等式knmcsss都成立，则22tc推广3：对满足tkbnam的任意正整数nm,（其中a,b,t为非零常数nm），求22)()(knkm的最小值（或范围）解析几何背景：即当点P),(knkm在一条线段上时，求点P到原点的距离平方的最小值（或范围）。2、题目来源、背景及推广推广1：正项数列na与ns同为等差数列的充要条件是)0(2aansn由于等差数列的前n项和为ns是关于n的二次函数，此题有解析几何背景：点),(nsn在)0(22ppyx上时，na与ns同为等差数列（线性关系）一、题目分析知识点：本题是一道与等差数列有关的数列与不等式的综合题，主要考查等差数列的概念，通项公式，前n项和ns及其关系，不等式（基本不等式）有关知识，函数最值问题，解析几何最值问题，考查探究，代数推理能力，分析能力。3、考查知识点与课标要求课标要求：该题切合中学数学教学实际，切合新课程标准要求和高考考查要求。①《新课程标准》要求将数列视为特殊的函数来处理，深刻理解概念，准确掌握公式，如数列的概念，通项公式与前n项和的关系，两种特殊的数列模型——等差等比数列，并要求学生在具体情境中能发现等差等比关系且能用相关知识解决相应问题。②《新课程标准》要求在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系，注重应用，关注学生对等差等比数学模型本质的理解，探究并掌握它们的一些基本关系，感受这两种模型的应用，并利用它们来解决实际问题。③《新课程标准》要求会用基本不等式解决简单的最值问题，关注学生应用基本不等式解决问题的能力一、题目分析4、数学思想方法一般到特殊的思想函数思想方程的思想转化与化归的思想数型结合的思想模型化思想一、题目分析5、典型性说明本题中所考查的“数列中na与nS的关系及等差数列相关知识”是数列中最为重要的关系和知识，所涉及到的代数变形能力是高考重点考查的能力要求，没有过分的技巧考查，但要求对数学中的形与式有较强的观察能力；而恒成立问题则是体现数学应用意识、探究能力、运用数学模型求解能力，特别强调数学思想的运用，具有较强的教学价值。二、解题分析1、策略分析第（1）由nS推导na，一般的策略为使用关系：2,1,11nSSnSannn，只是在推导过程中，注意由变形技巧而产生的一些不同的解法（详见下面的解法说明）。第（2）不等式的恒成立问题，通常是等价转化为基本不等式问题求解、函数的最值问题求解或利用数形结合思想转化为解析几何问题求解。二、解题分析解法1：利用基本元与基本关系求解（等差数列通常转化为首项和公差来求解）——方程思想由题知dnadnssnn)1()1(112211)1()1(2dnadnasn当2n时2211232nddadssannn（﹡）又3122aaa2112132)2(2dadadad得da1代入（﹡）得当2n时2)12(dnan又21da适合上式所以2)12(dnan)(Nn解法2：同解法1，式子处理稍灵活由题知dnadnssnn)1()1(11当2n时))((111nnnnnnnssssssa221232nddad以下同上2、解题分析及评价：第（1）问点评：以上两种解法体现了转化与化归，方程的思想，都是从等差数列通项出发，体现了等差数列“基本量“在解题中的关键，体现了1a，na，ns之间的关系。但解法2采用平方差公式又利用定义大大减少计算量。体现了思维过程中的求简意识。二、解题分析解法3：利用特殊化思想求解，先研究前3项。（由321,,aaa想到先研究ns的前3项）由题知3122sss即3211212aaaaaa又3122aaa所以212132aaaa平方化解得2121323aaaa即0321aa得123aa所以1ad所以nddnasn)1(1即22dnsn，再利用ns与na之间的关系求得2)12(dnan)(Nn2、解题分析及评价：第（1）问点评：从等差数列定义出发，利用等差中项的知识把问题转发为对ns的前3项研究，最后化归为对na的研究，体现了有一般到特殊及化归思想。二、解题分析3n221211121112))(())(()()(dssssssssssssaannnnnnnnnnnnnn又3122aaa所以na是公差为22d差数列（以下过程略）解法4：利用数列性质求解：ns是公差差数列，则从第2项起na是等差数列，2、解题分析及评价：第（1）问点评：考查学生知识的丰富性，体现平时学习过程中探究能力和创新意识，过程简单，技巧性强。二、解题分析2、解题分析及评价：第（1）问解法5：利用数列是特殊的函数——函数思想ns是公差差数列得ednsn，若0d不和题意；若0,0ed则2222eednndsn不满足32,1,aaa成等差数列；若0,0ed合题意思，所以22dnsn以下略点评：体现函数思想，等差数列通项是一次函数，思维要求高。二、解题分析2、解题分析及评价：第（1）问总评：这5种解法种，学生最容易想到的是解法1和解法3，这2种解法入手容易，思维难度不大但计算推导烦琐，其余解法有一定的技巧和思维要求，学生难以入手，但计算量小得多。二、解题分析由（1）知02d由题可化得222knmc恒成立，题目转化求222knm的最大值（或范围）解法1：利用基本不等式解题（观察式子nm和22nm且为正，易联想到基本不等式）因nm所以22229)()(2knmnm所以29222knm即29c2、解题分析及评价：第（2）问解法2：利用消元转化为求函数最值问题：多元问题可通过减元或消元来转化为一元问题，不等式问题也可转化为函数的最值问题处理）29)23(229)3(2222222kmkmkmknm等号成立条件是knm23，由于nm所以29222knm即29c二、解题分析解法3：运用数形结合思想转化为解析几何问题（由式子特征联想到式子几何含义）由knm3得3knkm，表明点P),(knkm线段),0,0(3yxyxyx上22222)()(knkmknm表示点P到原点距离的平方，而P到原点距离的平方大于29即29222knm2、解题分析及评价：第（2）问方法评价：以上3种解法均为解决不等式问题的常用方法，解法1，2最为学生接受，其中解法1要注意基本不等式的灵活运用且要注意基本不等式使用的条件，特别是“等号”的取得；解法2也易想到消元转化为函数，但计算变形上有点难度，学生计较难做到最后结果；解法3思维难度最高，学生难以看出式子的几何特征，但计算量却是最省。二、解题分析第①问变式1：求1a变式2：求证数列na为等差数列3、变式与拓展：不改变题目条件下由题目背景及推广可产生一系列变式题第②问变式3：设c为实数，对满足tknm（t为非零常数）且nm的任意正整数，不等式knmcsss都成立，求证22tc（或求c的取值范围）变式4：对满足tkbnam的任意正整数nm,（其中a,b,t为非零常数且nm），不等式knmcsss都成立，求c的取值范围三、教学启发（1）数列教学应注重基础知识，增加数学积累；（2）数列应重视思想方法，培养应用能力；（3）数列教学中要强化能力意识，促进探究创新；（4）数列应注意纵横交错，多知识点综合，理解数学本质。高考试题主要题源为教材，理解教材，吃透教材，挖掘教材，这样才能提高学生素养，提升思维品质，培养学生探究创新意识，为学生终身发展打下良好的基础。